A decomposição do \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} é de 1^{\text {a }} ordem, cuja constante de velocidade é 5,2 \times 10^{-3} \mathrm{~s}^{-1}, a 65^{\circ} \mathrm{C}. Em um experimento, uma amostra de \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} foi decomposta a 65^{\circ} \mathrm{C}. Quanto tempo levará para que a [ \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} ] decresça de 20 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para 2,0 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} ? Use a lei integrada da velocidade.
Resposta: \mathrm{t}=7,3 \mathrm{~min}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas retiradas do enunciado):
  • A reação é de ordem 1 (primeira ordem).
  • A constante de velocidade é k=5{,}2\times10^{-3}\\ \text{s}^{-1} (a 65^\circ\text{C}).
  • Concentração inicial [\mathrm{N}_2\mathrm{O}_5]_0 = 20\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.
  • Concentração final desejada [\mathrm{N}_2\mathrm{O}_5] = 2{,}0\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.
O que precisa ser calculado:
  • O tempo t necessário para a concentração cair de 20\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1} para 2{,}0\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.

Passo 2

Família de leis: para uma reação de primeira ordem, a lei diferencial da velocidade é
\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = -k\,[\mathrm{A}],
onde:
  • [\mathrm{A}] é a concentração da espécie que decai (aqui \mathrm{N}_2\mathrm{O}_5),
  • t é o tempo,
  • k é a constante de velocidade (com unidade \text{s}^{-1} para 1ª ordem).
Explicando a solução passo a passo (separação de variáveis): separar [\mathrm{A}] e t,
\frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados desde o estado inicial até o tempo t:
\int_{[\mathrm{A}]_0}^{[\mathrm{A}]} \frac{d[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
A integral do lado esquerdo dá logaritmo natural; a do direito dá -kt. Logo obtemos a forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]}{[\mathrm{A}]_0}\right) = -k t.
Rearranjando para isolar t,
t = \frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_0}{[\mathrm{A}]}\right).
Comentário didático: esse resultado é muito útil na prova — decorre diretamente da separação de variáveis. A interpretação é simples: a razão [\mathrm{A}]_0/[\mathrm{A}] mostra quantas vezes a concentração inicial foi reduzida; o logaritmo dessa razão, dividido por k, dá o tempo necessário.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números do enunciado. Primeiro calcule a razão das concentrações:
\frac{[\mathrm{A}]_0}{[\mathrm{A}]}=\frac{20}{2{,}0}=10.
Usando a fórmula:
t=\frac{1}{k}\ln(10).
Valor numérico: \ln(10)\approx 2{,}302585. Substituindo k=5{,}2\times10^{-3}\\ \text{s}^{-1},
t=\frac{2{,}302585}{5{,}2\times10^{-3}}\\ \text{s}.
Para facilitar a conta sem calculadora: divida 2{,}302585 por 5{,}2 e multiplique o resultado por 10^{3}:
\frac{2{,}302585}{5{,}2}\approx 0{,}442805\quad\Rightarrow\quad t\approx 0{,}442805\times10^{3}\\ \text{s}=442{,}8\\ \text{s}.

Passo 4

Converter o tempo de segundos para minutos:
t=\frac{442{,}8\\ \text{s}}{60\\ \text{s}\,\text{min}^{-1}}=7{,}38\\ \text{min}.
Discussão sobre arredondamento: a constante k foi dada com duas algarismos significativos ( 5{,}2\times10^{-3}), então reportar o tempo com duas significativas é razoável; assim t\approx 7{,}4\\ \text{min}. Se quiser aproximar com uma casa decimal como no enunciado, pode-se usar t\approx 7{,}3\\ \text{min} ou 7{,}4\\ \text{min} dependendo da regra de arredondamento adotada. O valor calculado precisamente é 7{,}38\\ \text{min}.

Resposta

t=7{,}38\\ \text{min}

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