Dedução da Equação de Difusão: A partir da equação mestra, demonstrem como chegar à equação de difusão para a densidade de probabilidade. Discutam a importância de assumir um processo Markoviano para que essa dedução seja possível. (Lembrem-se: o coeficiente de difusão é I2/t, com o I ao quadrado, um detalhe que esqueci de incluir no quadro ontem.)
Passo 1
O enunciado pede para partir da equação mestra (master equation) de um processo de saltos (jump process) unidimensional e mostrar que, no limite contínuo de salto pequeno, ela vira a equação de difusão para a densidade de probabilidade
. Vamos precisar:
- Escrever a equação mestra para transições de tamanho fixo
. - Assumir um processo Markoviano (sem memória) e expansão de Taylor em
. - Identificar o coeficiente de difusão
.
Passo 2
Escrevemos a equação mestra para a probabilidade
de estar na posição
no tempo
. Supondo saltos apenas para
com taxa
, temos
Aqui, os dois primeiros termos são ganho de probabilidade vindo de
e
, e o último é a perda de probabilidade ao saltar para esses vizinhos.
Passo 3
Agora assumimos
pequeno e expandimos
em série de Taylor até segunda ordem em
:
Passo 4
Substituindo na equação mestra e cancelando termos, obtemos
Passo 5
No limite de salto muito frequente e pequeno
,
mantendo
fixo, a ordem
some e ficamos com a equação de difusão linear:
onde o coeficiente de difusão é
Passo 6
Importância do processo Markoviano:
– A hipótese de Markov garante que a probabilidade de transição de em
dependa só do estado atual, não da história.
– Isso permite escrever a equação mestra apenas em termos de e fechar o sistema sem termos de ordem superior (memória).
– Sem Markov, apareceriam integrais de memória (história) e não seríamos capazes de reduzir ao simples operador de segunda derivada.
– A hipótese de Markov garante que a probabilidade de transição de
– Isso permite escrever a equação mestra apenas em termos de
– Sem Markov, apareceriam integrais de memória (história) e não seríamos capazes de reduzir ao simples operador de segunda derivada.
Resposta
A equação de difusão para
é
com
, e o caráter Markoviano é essencial para que só entrem termos locais em
e
, viabilizando a expansão de Taylor e o fechamento na segunda derivada.