Dedução da Equação de Difusão: A partir da equação mestra, demonstrem como chegar à equação de difusão para a densidade de probabilidade. Discutam a importância de assumir um processo Markoviano para que essa dedução seja possível. (Lembrem-se: o coeficiente de difusão é I2/t, com o I ao quadrado, um detalhe que esqueci de incluir no quadro ontem.)

Passo 1

O enunciado pede para partir da equação mestra (master equation) de um processo de saltos (jump process) unidimensional e mostrar que, no limite contínuo de salto pequeno, ela vira a equação de difusão para a densidade de probabilidade P(x,t). Vamos precisar:
  1. Escrever a equação mestra para transições de tamanho fixo I.
  2. Assumir um processo Markoviano (sem memória) e expansão de Taylor em I\ll1.
  3. Identificar o coeficiente de difusão D=I^2/t.

Passo 2

Escrevemos a equação mestra para a probabilidade P(x,t) de estar na posição x no tempo t. Supondo saltos apenas para x\pm I com taxa w, temos
\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = w\,P(x-I,t) + w\,P(x+I,t) - 2\,w\,P(x,t).
Aqui, os dois primeiros termos são ganho de probabilidade vindo de x-I e x+I, e o último é a perda de probabilidade ao saltar para esses vizinhos.

Passo 3

Agora assumimos I pequeno e expandimos P(x\pm I,t) em série de Taylor até segunda ordem em I:
P(x\pm I,t) = P(x,t) \pm I\,\frac{\partial P}{\partial x}(x,t) + \frac{I^2}{2}\,\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}(x,t) + O(I^3).

Passo 4

Substituindo na equação mestra e cancelando termos, obtemos
\frac{\partial P}{\partial t} = w\Bigl[2P + 0\cdot I\,\partial_x P + I^2\,\partial_x^2 P\Bigr] -2w\,P + O(I^3) = w\,I^2\,\frac{\partial^2 P}{\partial x^2}(x,t) + O(I^3).

Passo 5

No limite de salto muito frequente e pequeno I\to0, w\to\infty mantendo D = w\,I^2 fixo, a ordem O(I^3) some e ficamos com a equação de difusão linear:
\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 P(x,t)}{\partial x^2},
onde o coeficiente de difusão é
D = w\,I^2 \sim \frac{I^2}{t}.

Passo 6

Importância do processo Markoviano:
– A hipótese de Markov garante que a probabilidade de transição de x em t dependa só do estado atual, não da história.
– Isso permite escrever a equação mestra apenas em termos de P(x\pm I,t) e fechar o sistema sem termos de ordem superior (memória).
– Sem Markov, apareceriam integrais de memória (história) e não seríamos capazes de reduzir ao simples operador de segunda derivada.

Resposta

A equação de difusão para P(x,t) é
\frac{\partial P(x,t)}{\partial t} = D\,\frac{\partial^2 P(x,t)}{\partial x^2},
com D = I^2/t, e o caráter Markoviano é essencial para que só entrem termos locais em x e t, viabilizando a expansão de Taylor e o fechamento na segunda derivada.

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