Deduza a equação da difusão térmica para coordenadas esféricas partindo do volume de controle diferencial apresentado em sala de aula.

Passo 1

O que o enunciado pede: deduzir a equação da difusão térmica (equação do calor) em coordenadas esféricas, partindo do volume de controle diferencial que se usa em sala (um elemento pequeno definido por r, \theta, \varphi com espessuras \mathrm{d}r, \mathrm{d}\theta, \mathrm{d}\varphi).
Informações relevantes dadas/necessárias (vou usar estas sem te perguntar nada):
  • Vou considerar um volume de controle diferencial localizado em coordenadas esféricas centrado em (r,\theta,\varphi) com dimensões \mathrm{d}r, \mathrm{d}\theta, \mathrm{d}\varphi.
  • Propriedades do meio: densidade \rho ( \mathrm{kg/m^3}), capacidade térmica específica c ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}), condutividade térmica k ( \mathrm{W/(m\cdot K)}), e geração volumétrica de calor \dot{q} ( \mathrm{W/m^3}) — esta última pode ser zero se não houver geração interna.
  • Lei de Fourier para condução: o fluxo de calor por condução é proporcional ao gradiente de temperatura com condutividade k.
  • Volumes e áreas do elemento diferencial serão usados (vou calcular explicitamente).
  • Objetivo final: obter a equação diferencial parcial para T(r,\theta,\varphi,t).

Passo 2

Geometria do volume de controle diferencial e elementos geométricos (explico como obter cada comprimento/área/volume de maneira bem direta).
Comprimentos nos três eixos locais:
  • Alongamento radial: \mathrm{d}r.
  • Alongamento polar (direção \theta): arco de círculo de raio r com comprimento r\,\mathrm{d}\theta.
  • Alongamento azimutal (direção \varphi): arco de círculo de raio r\sin\theta com comprimento r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi.
Áreas das faces do volume diferencial:
  • Área da face radial (superfície com normal radial, em r constante):
A_r = r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
(Razão: lados da face são r\,\mathrm{d}\theta e r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi, produto dá r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.)
  • Área da face polar (superfície com normal na direção \theta, em \theta constante):
A_\theta = r\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
(Razão: lados são \mathrm{d}r e r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi.)
  • Área da face azimutal (superfície com normal na direção \varphi, em \varphi constante):
A_\varphi = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
(Razão: lados são \mathrm{d}r e r\,\mathrm{d}\theta.)
Volume do elemento diferencial:
\mathrm{d}V = r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
(Produto dos três comprimentos.)
Vou usar essas expressões para calcular fluxos de calor através de cada par de faces.

Passo 3

Princípio físico aplicado (equação de balanço de energia local, versão integral-infinitesimal).
Enunciado do balanço de energia para o volume diferencial:
  • A taxa de aumento de energia interna no volume = fluxo líquido de calor que entra através das faces + geração interna de calor.
Em fórmulas, a taxa de armazenamento térmico é
\text{Taxa de armazenamento} = \rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}V,
onde \rho é a densidade, c é a capacidade térmica específica, T é a temperatura e t o tempo. Explico: \rho c\,\mathrm{d}V é a massa no elemento vezes a energia por unidade de massa necessária para uma variação de temperatura unitaria; multiplicando por \partial T/\partial t obtemos a potência necessária para mudar a energia interna por segundo.
A geração interna total no volume é
\dot{q}\,\mathrm{d}V,
onde \dot{q} é potência gerada por unidade de volume ( \mathrm{W/m^3}), podendo ser zero.
O fluxo líquido de calor que entra por condução será obtido somando as contribuições pelas três direções coordenadas. Vou calcular cada uma delas.

Passo 4

Lei de Fourier e componentes do vetor fluxo de calor em coordenadas esféricas.
Lei de Fourier (local, ponto a ponto):
\mathbf{q} = -k\,\nabla T,
onde \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor (unidade \mathrm{W/m^2}), k a condutividade térmica e \nabla T o gradiente de temperatura.
No sistema de coordenadas esféricas a expressão do gradiente escalar é (esta é uma fórmula padrão; vou explicá-la rapidamente: as derivadas no sentido \theta e \varphi devem ser normalizadas pelos comprimentos de arco correspondentes):
\nabla T \;=\; \mathbf{e}_r\,\frac{\partial T}{\partial r} +\mathbf{e}_\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \theta} +\mathbf{e}_\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial \varphi}.
Portanto, as componentes do fluxo de calor são
q_r = -k\,\frac{\partial T}{\partial r}, \qquad q_\theta = -k\,\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \theta}, \qquad q_\varphi = -k\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial \varphi}.
Aqui \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi são os versores locais; cada componente q_i tem unidade \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Contribuição radial ao fluxo líquido de calor (passo detalhado e “mastigado”).
Fluxo de calor atravessando a face radial em r (entrando no elemento, por convenção):
\dot{Q}_r(r) = q_r(r)\;A_r(r) = q_r(r)\;r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
Fluxo de calor atravessando a face radial em r+\mathrm{d}r (saindo do elemento):
\dot{Q}_r(r+\mathrm{d}r) = q_r(r+\mathrm{d}r)\;(r+\mathrm{d}r)^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.
O fluxo líquido entrando por radiais (positivo quando entra) é a diferença:
\delta \dot{Q}_r = \dot{Q}_r(r) - \dot{Q}_r(r+\mathrm{d}r).
Usamos expansão de Taylor em primeira ordem para \dot{Q}_r(r+\mathrm{d}r):
\dot{Q}_r(r+\mathrm{d}r) \approx \dot{Q}_r(r) + \frac{\partial}{\partial r}\big(\dot{Q}_r\big)\,\mathrm{d}r.
Portanto
\delta \dot{Q}_r \approx -\frac{\partial}{\partial r}\big(\dot{Q}_r\big)\,\mathrm{d}r.
Substituindo \dot{Q}_r = q_r\,r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi e dividindo pelo volume \mathrm{d}V = r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi, a contribuição radial por unidade de volume é
\frac{\delta \dot{Q}_r}{\mathrm{d}V} \;=\; -\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2} q_r\big).
Isto é um resultado padrão: a parte radial do divergente de \mathbf{q} em esféricas é (1/r^{2})\partial_r(r^{2} q_r). Vou usar isso adiante.

Passo 6

Contribuição na direção \theta (polar).
Fluxo de calor na face com coordenada \theta (lado “inferior” do elemento em \theta):
\dot{Q}_\theta(\theta) = q_\theta(\theta)\;A_\theta(\theta) = q_\theta(\theta)\;r\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
Fluxo de calor na face em \theta+\mathrm{d}\theta (lado “superior”):
\dot{Q}_\theta(\theta+\mathrm{d}\theta) = q_\theta(\theta+\mathrm{d}\theta)\;r\sin(\theta+\mathrm{d}\theta)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi.
Fluxo líquido entrando por faces \theta-constantes:
\delta \dot{Q}_\theta = \dot{Q}_\theta(\theta) - \dot{Q}_\theta(\theta+\mathrm{d}\theta) \approx -\frac{\partial}{\partial \theta}\big(\dot{Q}_\theta\big)\,\mathrm{d}\theta.
Substituindo \dot{Q}_\theta = q_\theta\,r\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi e dividindo por \mathrm{d}V = r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi, obtemos a contribuição por unidade de volume:
\frac{\delta \dot{Q}_\theta}{\mathrm{d}V} \;=\; -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\big(\sin\theta\, q_\theta\big).
Isto corresponde à parte \theta do divergente em esféricas.

Passo 7

Contribuição na direção \varphi (azimutal).
Fluxo na face em \varphi:
\dot{Q}_\varphi(\varphi) = q_\varphi(\varphi)\;A_\varphi(\varphi) = q_\varphi(\varphi)\;r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Fluxo na face em \varphi+\mathrm{d}\varphi:
\dot{Q}_\varphi(\varphi+\mathrm{d}\varphi) \approx \dot{Q}_\varphi(\varphi) + \frac{\partial}{\partial \varphi}\big(\dot{Q}_\varphi\big)\,\mathrm{d}\varphi.
Fluxo líquido (entrada positiva) e dividindo por \mathrm{d}V
\frac{\delta \dot{Q}_\varphi}{\mathrm{d}V} \;=\; -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}\big(q_\varphi\big).
(Aqui aparece o fator 1/(r\sin\theta) porque \mathrm{d}V=r^{2}\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi enquanto a área A_\varphi=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.)

Passo 8

Somando as três contribuições: divergente do fluxo de calor.
Somando os termos obtidos nas três direções, a taxa líquida de calor que entra por condução por unidade de volume é
\left(-\nabla\cdot\mathbf{q}\right) \;=\; -\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^{2} q_r\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\big(\sin\theta\, q_\theta\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial q_\varphi}{\partial \varphi} \right].
Explicação rápida do sinal: \nabla\cdot\mathbf{q} dá a taxa de fluxo “para fora” por unidade de volume; portanto o fluxo líquido que entra é -\nabla\cdot\mathbf{q}.

Passo 9

Substituir as componentes de \mathbf{q} pela Lei de Fourier e montar a equação de conservação.
Lembrando que
q_r = -k\,\frac{\partial T}{\partial r},\qquad q_\theta = -k\,\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial \theta},\qquad q_\varphi = -k\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial \varphi}.
Substituindo em -\nabla\cdot\mathbf{q} obtemos (antes de simplificar):
-\nabla\cdot\mathbf{q} \;=\; -\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\big(-k\partial_r T\big)\Big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\big(-k\frac{1}{r}\partial_\theta T\big)\Big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(-k\frac{1}{r\sin\theta}\partial_\varphi T\Big) \right].
Simplificando os sinais (cada q_i tem sinal negativo), fica:
-\nabla\cdot\mathbf{q} \;=\; \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(k\,r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(k\,\sin\theta\frac{\partial T}{\partial \theta}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(k\frac{\partial T}{\partial \varphi}\Big).
Se k é constante espacialmente (caso mais simples e muito comum), então k sai das derivadas e a expressão reduz para
-\nabla\cdot\mathbf{q} \;=\; k\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial \theta}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} T}{\partial \varphi^{2}} \right].

Passo 10

Montagem final do balanço de energia e obtenção da equação do calor.
Relembre o balanço do Passo 3:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t}\,\mathrm{d}V \;=\; \big(\text{fluxo líquido entrando por condução}\big)\,\mathrm{d}V \;+\; \dot{q}\,\mathrm{d}V.íçã
Dividindo por \mathrm{d}V e substituindo a expressão do termo de condução, obtemos:
\rho c\,\frac{\partial T}{\partial t} \;=\; k\left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial \theta}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} T}{\partial \varphi^{2}} \right] + \dot{q}.
É comum dividir tudo por \rho c e definir a difusividade térmica
\alpha = \frac{k}{\rho c},
para escrever a equação em forma padrão:
\frac{\partial T}{\partial t} \;=\; \alpha \left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial \theta}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} T}{\partial \varphi^{2}} \right] + \frac{\dot{q}}{\rho c}.
Explicação dos termos finais:
  • O operador entre colchetes é o laplaciano escalar \nabla^{2}T escrito em coordenadas esféricas.
  • O termo \dot{q}/(\rho c) representa aquecimento volumétrico que aumenta a temperatura local.
  • Se não houver geração interna ( \dot{q}=0) e se T não depender de \theta e \varphi (simetria esférica), a equação simplifica bastante para o caso radial puro.

Resposta

\frac{\partial T}{\partial t} \;=\; \alpha \left[ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\frac{\partial T}{\partial r}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\!\Big(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial \theta}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} T}{\partial \varphi^{2}} \right] \;+\; \frac{\dot{q}}{\rho c},
onde \alpha=\dfrac{k}{\rho c}.

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