Deduza a equação da difusão térmica para coordenadas esféricas partindo do volume de controle diferencial apresentado em sala de aula.
Passo 1
O que o enunciado pede: deduzir a equação da difusão térmica (equação do calor) em coordenadas esféricas, partindo do volume de controle diferencial que se usa em sala (um elemento pequeno definido por
,
,
com espessuras
,
,
).
Informações relevantes dadas/necessárias (vou usar estas sem te perguntar nada):
- Vou considerar um volume de controle diferencial localizado em coordenadas esféricas centrado em
com dimensões , , . - Propriedades do meio: densidade
( ), capacidade térmica específica ( ), condutividade térmica ( ), e geração volumétrica de calor ( ) — esta última pode ser zero se não houver geração interna. - Lei de Fourier para condução: o fluxo de calor por condução é proporcional ao gradiente de temperatura com condutividade
. - Volumes e áreas do elemento diferencial serão usados (vou calcular explicitamente).
- Objetivo final: obter a equação diferencial parcial para
.
Passo 2
Geometria do volume de controle diferencial e elementos geométricos (explico como obter cada comprimento/área/volume de maneira bem direta).
Comprimentos nos três eixos locais:
- Alongamento radial:
. - Alongamento polar (direção
): arco de círculo de raio com comprimento . - Alongamento azimutal (direção
): arco de círculo de raio com comprimento .
Áreas das faces do volume diferencial:
- Área da face radial (superfície com normal radial, em
constante):
(Razão: lados da face são
e
, produto dá
.)
- Área da face polar (superfície com normal na direção
, em constante):
(Razão: lados são
e
.)
- Área da face azimutal (superfície com normal na direção
, em constante):
(Razão: lados são
e
.)
Volume do elemento diferencial:
(Produto dos três comprimentos.)
Vou usar essas expressões para calcular fluxos de calor através de cada par de faces.
Passo 3
Princípio físico aplicado (equação de balanço de energia local, versão integral-infinitesimal).
Enunciado do balanço de energia para o volume diferencial:
- A taxa de aumento de energia interna no volume = fluxo líquido de calor que entra através das faces + geração interna de calor.
Em fórmulas, a taxa de armazenamento térmico é
onde
é a densidade,
é a capacidade térmica específica,
é a temperatura e
o tempo. Explico:
é a massa no elemento vezes a energia por unidade de massa necessária para uma variação de temperatura unitaria; multiplicando por
obtemos a potência necessária para mudar a energia interna por segundo.
A geração interna total no volume é
onde
é potência gerada por unidade de volume (
), podendo ser zero.
O fluxo líquido de calor que entra por condução será obtido somando as contribuições pelas três direções coordenadas. Vou calcular cada uma delas.
Passo 4
Lei de Fourier e componentes do vetor fluxo de calor em coordenadas esféricas.
Lei de Fourier (local, ponto a ponto):
onde
é o vetor fluxo de calor (unidade
),
a condutividade térmica e
o gradiente de temperatura.
No sistema de coordenadas esféricas a expressão do gradiente escalar é (esta é uma fórmula padrão; vou explicá-la rapidamente: as derivadas no sentido
e
devem ser normalizadas pelos comprimentos de arco correspondentes):
Portanto, as componentes do fluxo de calor são
Aqui
são os versores locais; cada componente
tem unidade
.
Passo 5
Contribuição radial ao fluxo líquido de calor (passo detalhado e “mastigado”).
Fluxo de calor atravessando a face radial em
(entrando no elemento, por convenção):
Fluxo de calor atravessando a face radial em
(saindo do elemento):
O fluxo líquido entrando por radiais (positivo quando entra) é a diferença:
Usamos expansão de Taylor em primeira ordem para
:
Portanto
Substituindo
e dividindo pelo volume
, a contribuição radial por unidade de volume é
Isto é um resultado padrão: a parte radial do divergente de
em esféricas é
. Vou usar isso adiante.
Passo 6
Contribuição na direção
(polar).
Fluxo de calor na face com coordenada
(lado “inferior” do elemento em
):
Fluxo de calor na face em
(lado “superior”):
Fluxo líquido entrando por faces
-constantes:
Substituindo
e dividindo por
, obtemos a contribuição por unidade de volume:
Isto corresponde à parte
do divergente em esféricas.
Passo 7
Contribuição na direção
(azimutal).
Fluxo na face em
:
Fluxo na face em
:
Fluxo líquido (entrada positiva) e dividindo por
dá
(Aqui aparece o fator
porque
enquanto a área
.)
Passo 8
Somando as três contribuições: divergente do fluxo de calor.
Somando os termos obtidos nas três direções, a taxa líquida de calor que entra por condução por unidade de volume é
Explicação rápida do sinal:
dá a taxa de fluxo “para fora” por unidade de volume; portanto o fluxo líquido que entra é
.
Passo 9
Substituir as componentes de
pela Lei de Fourier e montar a equação de conservação.
Lembrando que
Substituindo em
obtemos (antes de simplificar):
Simplificando os sinais (cada
tem sinal negativo), fica:
Se
é constante espacialmente (caso mais simples e muito comum), então
sai das derivadas e a expressão reduz para
Passo 10
Montagem final do balanço de energia e obtenção da equação do calor.
Relembre o balanço do Passo 3:
Dividindo por
e substituindo a expressão do termo de condução, obtemos:
É comum dividir tudo por
e definir a difusividade térmica
para escrever a equação em forma padrão:
Explicação dos termos finais:
- O operador entre colchetes é o laplaciano escalar
escrito em coordenadas esféricas. - O termo
representa aquecimento volumétrico que aumenta a temperatura local. - Se não houver geração interna (
) e se não depender de e (simetria esférica), a equação simplifica bastante para o caso radial puro.
Resposta
onde
.