Deduza uma equação para o trabalho produzido em uma expansão isotérmica e reversível de V_{1} para \mathrm{V}_{2} de um gás cuja equação de estado é: \mathrm{p} \overline{\mathrm{V}}=\mathrm{RT}+(\mathrm{bRT}-\mathrm{a})\left(\frac{1}{\overline{\mathrm{~V}}}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a equação de estado
p\,\overline{V}=RT+(bRT-a)\left(\frac{1}{\overline{V}}\right),
e pede: deduzir uma equação para o trabalho produzido numa expansão isotérmica e reversível do volume molar \overline{V}_1 para \overline{V}_2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável \overline{V} é o volume molar (volume por mol) do gás.
  • p é a pressão, R é a constante dos gases e T é a temperatura absoluta.
  • a e b são constantes do gás (dadas na equação de estado).
  • O processo é isotérmico: T é constante durante todo o processo.
  • O processo é reversível: a pressão do gás é igual à pressão externa infinitesimalmente diferente, logo o trabalho elementar é dado por p\,d\overline{V}.
  • O intervalo de integração do trabalho é de \overline{V}_1 para \overline{V}_2.

Passo 2

Definir claramente o sinal e a expressão do trabalho que vamos calcular. “Trabalho produzido” pelo gás (trabalho realizado pelo sistema sobre o ambiente) é tomado aqui como positivo; nesse caso o trabalho produzido ao expandir reversivelmente de \overline{V}_1 para \overline{V}_2 é
W=\int_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2} p\,d\overline{V}.
Explicando: para um processo reversível, a pressão interna do gás é igual à pressão externa infinitesimalmente diferente, então o trabalho diferencial elementar trocado é p\,d\overline{V}. Como T é constante, p em cada ponto da integração é obtido pela equação de estado do próprio gás.

Passo 3

Expressar p explicitamente em função de \overline{V} usando a equação de estado dada. Partindo de
p\,\overline{V}=RT+(bRT-a)\left(\frac{1}{\overline{V}}\right),
divide-se por \overline{V} para obter p:
p=\frac{RT}{\overline{V}}+\frac{bRT-a}{\overline{V}^2}.
Comentário sobre cada termo: o primeiro termo \dfrac{RT}{\overline{V}} é o termo tipo ideal; o segundo \dfrac{bRT-a}{\overline{V}^2} representa correções dependentes de \overline{V}^{-2} com as constantes a,b.

Passo 4

Substituir p na integral do trabalho e separar em integrais simples:
W=\int_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2}\left(\frac{RT}{\overline{V}}+\frac{bRT-a}{\overline{V}^2}\right)d\overline{V} =RT\int_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2}\frac{d\overline{V}}{\overline{V}}+(bRT-a)\int_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2}\frac{d\overline{V}}{\overline{V}^2}.
Explicação das integrais a serem feitas:
  • \displaystyle \int \frac{d\overline{V}}{\overline{V}}=\ln\overline{V}.
  • \displaystyle \int \frac{d\overline{V}}{\overline{V}^2}=\int \overline{V}^{-2}d\overline{V}=-\overline{V}^{-1}=-\frac{1}{\overline{V}}.
    Estas integrais são padrão; a segunda pode ser vista como usar a regra de potência \int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n=-2.

Passo 5

Calcular explicitamente as integrais com os limites \overline{V}_1 e \overline{V}_2.
Para o primeiro termo:
RT\int_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2}\frac{d\overline{V}}{\overline{V}}=RT\left[\ln\overline{V}\right]_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2}=RT\ln\!\left(\frac{\overline{V}_2}{\overline{V}_1}\right).
Para o segundo termo:
(bRT-a)\int_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2}\frac{d\overline{V}}{\overline{V}^2}=(bRT-a)\left[-\frac{1}{\overline{V}}\right]_{\overline{V}_1}^{\overline{V}_2}=(bRT-a)\left(-\frac{1}{\overline{V}_2}+\frac{1}{\overline{V}_1}\right).
Reescrevendo o segundo termo de forma mais clara:
(bRT-a)\left(\frac{1}{\overline{V}_1}-\frac{1}{\overline{V}_2}\right).

Passo 6

Combinar os dois termos para obter a expressão final do trabalho produzido pelo gás:
W=RT\ln\!\left(\frac{\overline{V}_2}{\overline{V}_1}\right)+(bRT-a)\left(\frac{1}{\overline{V}_1}-\frac{1}{\overline{V}_2}\right).
Interpretação rápida: o primeiro termo é o trabalho isotérmico ideal clássico; o segundo termo é a correção trazida pela parte não-ideal da equação de estado. Para b=0 e a=0 recupera-se o resultado ideal W=RT\ln(\overline{V}_2/\overline{V}_1).

Resposta

W=RT\ln\!\left(\frac{\overline{V}_2}{\overline{V}_1}\right)+(bRT-a)\left(\frac{1}{\overline{V}_1}-\frac{1}{\overline{V}_2}\right)

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