5- Deduza a Lei de Malus.
Passo 1
O enunciado pede: deduzir a Lei de Malus, isto é, encontrar uma expressão que dê a intensidade transmitida por um polarizador em função do ângulo
entre a direção de polarização do feixe incidente e o eixo transmissor do polarizador.
Informações/hipóteses que vamos usar:
Informações/hipóteses que vamos usar:
- O feixe incidente é monocromático e linearmente polarizado, com amplitude máxima do campo elétrico
, e intensidade inicial . - O eixo transmissor do polarizador faz um ângulo
com a direção da polarização do feixe incidente. - O polarizador é ideal: só deixa passar a componente do campo elétrico na direção do seu eixo; a componente perpendicular é completamente bloqueada.
- A intensidade da onda eletromagnética é proporcional à média temporal do quadrado do campo elétrico:
.
Passo 2
Descrever matematicamente o campo elétrico do feixe incidente e a relação entre intensidade e campo elétrico.
- Um feixe monocromático, polarizado linearmente ao longo de alguma direção
, tem campo elétrico no ponto considerado que pode ser escrito como
onde
é a amplitude máxima (valor de pico),
é a frequência angular e
é um versor na direção da polarização.
- A intensidade média (potência por unidade de área) está proporcional à média temporal do quadrado do campo elétrico. Escrevendo essa proporcionalidade com uma constante
que depende do meio (por exemplo no vácuo), temos
- Para uma oscilação harmônica
vale a identidade média
Portanto, para o feixe incidente completo
Aqui
é a intensidade média do feixe antes do polarizador.
Passo 3
Decompor o campo elétrico nas componentes paralela e perpendicular ao eixo do polarizador.
- Seja
o versor ao longo do eixo transmissor do polarizador e a direção perpendicular a ele. Se a polarização do feixe forma ângulo com , podemos decompor o versor como
- Substituindo em
,
- A componente do campo que está alinhada com o eixo transmissor (a que pode passar pelo polarizador) tem amplitude máxima
pois multiplica
.
Passo 4
Escrever o campo transmitido e calcular a intensidade transmitida por meio da média do quadrado do campo.
- Após um polarizador ideal, só passa a componente paralela. O campo transmitido é então
- A intensidade transmitida
é proporcional à média temporal de :
- Usando
obtemos
Passo 5
Relacionar com a intensidade incidente
e obter a Lei de Malus.
- Lembrando do valor de
do Passo 2, , substituímos na expressão de :
- Essa é exatamente a Lei de Malus: a intensidade transmitida por um polarizador para luz linearmente polarizada depende do cosseno do ângulo entre a polarização e o eixo do polarizador ao quadrado.
Passo 6
Interpretação física rápida e casos especiais (úteis para a prova).
- Se
(polarização alinhada com o eixo) então e : toda a intensidade passa. - Se
( , polarização perpendicular) então e : nenhuma intensidade passa. - Nota sobre luz não polarizada: luz completamente não polarizada pode ser vista como uma mistura de polarizações com todos os ângulos igualmente prováveis; ao passar por um polarizador ideal, a média de
sobre de a é , portanto um polarizador ideal transmite metade da intensidade de uma luz não polarizada incidente. Isso não altera a lei de Malus, que vale para luz já polarizada.
Força aí — você já tem a demonstração completa e os casos de prova prontos!