5- Deduza a Lei de Malus.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a Lei de Malus, isto é, encontrar uma expressão que dê a intensidade transmitida por um polarizador em função do ângulo \theta entre a direção de polarização do feixe incidente e o eixo transmissor do polarizador.
Informações/hipóteses que vamos usar:
  • O feixe incidente é monocromático e linearmente polarizado, com amplitude máxima do campo elétrico \,E_0, e intensidade inicial \,I_0.
  • O eixo transmissor do polarizador faz um ângulo \theta com a direção da polarização do feixe incidente.
  • O polarizador é ideal: só deixa passar a componente do campo elétrico na direção do seu eixo; a componente perpendicular é completamente bloqueada.
  • A intensidade da onda eletromagnética é proporcional à média temporal do quadrado do campo elétrico: \,I \propto \langle E^2\rangle.

Passo 2

Descrever matematicamente o campo elétrico do feixe incidente e a relação entre intensidade e campo elétrico.
  • Um feixe monocromático, polarizado linearmente ao longo de alguma direção \hat{u}, tem campo elétrico no ponto considerado que pode ser escrito como
\mathbf{E}(t)=\;E_0\cos(\omega t)\,\hat{u},
onde \,E_0 é a amplitude máxima (valor de pico), \omega é a frequência angular e \hat{u} é um versor na direção da polarização.
  • A intensidade média (potência por unidade de área) está proporcional à média temporal do quadrado do campo elétrico. Escrevendo essa proporcionalidade com uma constante k que depende do meio (por exemplo k=\tfrac{1}{2}c\varepsilon_0 no vácuo), temos
I = k\,\langle \mathbf{E}^2(t)\rangle.
  • Para uma oscilação harmônica \cos(\omega t) vale a identidade média
\langle \cos^2(\omega t)\rangle = \tfrac{1}{2}.
Portanto, para o feixe incidente completo
I_0 = k\,\langle E_0^2\cos^2(\omega t)\rangle = k\,E_0^2\cdot\tfrac{1}{2}.
Aqui \,I_0 é a intensidade média do feixe antes do polarizador.

Passo 3

Decompor o campo elétrico nas componentes paralela e perpendicular ao eixo do polarizador.
  • Seja \hat{e}_\parallel o versor ao longo do eixo transmissor do polarizador e \hat{e}_\perp a direção perpendicular a ele. Se a polarização do feixe forma ângulo \theta com \hat{e}_\parallel, podemos decompor o versor \hat{u} como
\hat{u}=\cos\theta\,\hat{e}_\parallel + \sin\theta\,\hat{e}_\perp.
  • Substituindo em \mathbf{E}(t),
\mathbf{E}(t)=E_0\cos(\omega t)\bigl(\cos\theta\,\hat{e}_\parallel + \sin\theta\,\hat{e}_\perp\bigr).
  • A componente do campo que está alinhada com o eixo transmissor (a que pode passar pelo polarizador) tem amplitude máxima
E_{\parallel,0}=E_0\cos\theta,
pois multiplica \hat{e}_\parallel.

Passo 4

Escrever o campo transmitido e calcular a intensidade transmitida por meio da média do quadrado do campo.
  • Após um polarizador ideal, só passa a componente paralela. O campo transmitido é então
\mathbf{E}_\text{trans}(t)=E_0\cos\theta\;\cos(\omega t)\,\hat{e}_\parallel.
  • A intensidade transmitida I é proporcional à média temporal de \mathbf{E}_\text{trans}^2(t):
I = k\,\langle \bigl(E_0\cos\theta\cos(\omega t)\bigr)^2\rangle = k\,E_0^2\cos^2\theta\;\langle\cos^2(\omega t)\rangle.
  • Usando \langle\cos^2(\omega t)\rangle=\tfrac{1}{2} obtemos
I = k\,E_0^2\cos^2\theta\cdot\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Relacionar com a intensidade incidente \,I_0 e obter a Lei de Malus.
  • Lembrando do valor de \,I_0 do Passo 2, \,I_0 = k\,E_0^2\cdot\tfrac{1}{2}, substituímos na expressão de I:
I = \bigl(k\,E_0^2\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)\cos^2\theta = I_0\cos^2\theta.
  • Essa é exatamente a Lei de Malus: a intensidade transmitida por um polarizador para luz linearmente polarizada depende do cosseno do ângulo entre a polarização e o eixo do polarizador ao quadrado.

Passo 6

Interpretação física rápida e casos especiais (úteis para a prova).
  • Se \theta=0 (polarização alinhada com o eixo) então \cos^2 0 = 1 e I=I_0: toda a intensidade passa.
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{2} ( 90^\circ, polarização perpendicular) então \cos^2\tfrac{\pi}{2}=0 e I=0: nenhuma intensidade passa.
  • Nota sobre luz não polarizada: luz completamente não polarizada pode ser vista como uma mistura de polarizações com todos os ângulos igualmente prováveis; ao passar por um polarizador ideal, a média de \cos^2\theta sobre \theta de 0 a 2\pi é \tfrac{1}{2}, portanto um polarizador ideal transmite metade da intensidade de uma luz não polarizada incidente. Isso não altera a lei de Malus, que vale para luz já polarizada.
    Força aí — você já tem a demonstração completa e os casos de prova prontos!

Resposta

I = I_0 \cos^2\theta

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