(25 pontos) Considere um balão de
com gás hélio (monoatômico) a uma temperatura de
e pressão de 1 atm .
(a) ( 05 pontos) Quantos mols de hélio existem no balão? Quantos átomos existem no balão?
(b) ( 10 pontos) Qual é a energia cinética média e qual é a velocidade quadrática média dos átomos de hélio?
(c) (10 pontos) Qual a energia interna do gás contido no balão?
(a) ( 05 pontos) Quantos mols de hélio existem no balão? Quantos átomos existem no balão?
(b) ( 10 pontos) Qual é a energia cinética média e qual é a velocidade quadrática média dos átomos de hélio?
(c) (10 pontos) Qual a energia interna do gás contido no balão?
Passo 1
O enunciado dá um balão com gás hélio nas condições:
- Volume
. - Temperatura
. - Pressão
.
Vou converter para unidades SI (porque as fórmulas que usaremos usam SI):
-
. -
. -
.
O que o exercício pede:
(a) Quantos mols de hélio existem no balão? Quantos átomos existem no balão?
(b) Qual é a energia cinética média por átomo e qual é a velocidade quadrática média ( ) dos átomos de hélio?
(c) Qual é a energia interna do gás contido no balão?
(a) Quantos mols de hélio existem no balão? Quantos átomos existem no balão?
(b) Qual é a energia cinética média por átomo e qual é a velocidade quadrática média (
(c) Qual é a energia interna do gás contido no balão?
Passo 2
Calcular o número de mols
. Usamos a equação dos gases ideais:
onde
é a pressão,
o volume,
a constante universal dos gases (
) e
a temperatura absoluta. Isolando
:
Substituindo os valores (tudo em SI):
Calculemos numerador e denominador separadamente:
Portanto
Observação didática rápida: é conhecido que o volume molar em CNTP (0ºC e 1 atm) é aproximadamente
, então ter
corresponde a cerca de
mol — esse é um atalho válido em prova.
Passo 3
Calcular o número de átomos. Usamos o número de Avogadro
. O número total de átomos é
Substituindo:
Se usar o atalho
, obtém-se
átomos.
Passo 4
Energia cinética média por átomo. Pela teoria cinética dos gases, para um gás monoatômico a energia cinética translacional média por partícula é
onde
é a constante de Boltzmann (
) e
a temperatura em kelvin. Explicação: cada grau de liberdade translacional contribui com
para a energia média; um átomo livre tem três graus de liberdade (x,y,z), logo
.
Substituindo:
Calculemos:
Para uma intuição alternativa, em elétron-volts:
logo
Passo 5
Velocidade quadrática média (
). A relação entre energia cinética média por partícula e velocidade é
onde
é a massa de uma partícula (a massa de um átomo de hélio). Isolando
:
Agora precisamos de
. A massa de um átomo de hélio (massa atômica aproximada
) em kg é
Substituindo na fórmula:
Calculemos passo a passo:
Portanto
. Observação: dá para usar também a fórmula com massa molar
(em kg/mol):
e obter o mesmo resultado.
Passo 6
Energia interna do gás. Para um gás ideal monoatômico, a energia interna total (energia interna interna translacional) é
onde
é o número de mols. Explicação: cada mol tem
partículas, cada partícula tem
de energia média, multiplicando resulta em
.
Usando
calculado antes (ou usando a identidade
):
Como já calculamos
, segue
Se tivesse usado
(atalho), obteria
. A diferença é pequena porque
estava muito próximo de
.
Resposta
(a)
\
(b)
\
(c)