(25 pontos) Considere um balão de 22,4 \mathrm{~L} com gás hélio (monoatômico) a uma temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 1 atm .
(a) ( 05 pontos) Quantos mols de hélio existem no balão? Quantos átomos existem no balão?
(b) ( 10 pontos) Qual é a energia cinética média e qual é a velocidade quadrática média dos átomos de hélio?
(c) (10 pontos) Qual a energia interna do gás contido no balão?

Passo 1

O enunciado dá um balão com gás hélio nas condições:
  • Volume V = 22,4\\ \mathrm{L}.
  • Temperatura 0^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão P = 1\\ \mathrm{atm}.
Vou converter para unidades SI (porque as fórmulas que usaremos usam SI):
  • V = 22,4\\ \mathrm{L} = 0,0224\\ \mathrm{m^3}.
  • T = 0^\circ\mathrm{C} = 273,15\\ \mathrm{K}.
  • P = 1\\ \mathrm{atm} = 1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
O que o exercício pede:
(a) Quantos mols de hélio existem no balão? Quantos átomos existem no balão?
(b) Qual é a energia cinética média por átomo e qual é a velocidade quadrática média ( v_{\mathrm{rms}}) dos átomos de hélio?
(c) Qual é a energia interna do gás contido no balão?

Passo 2

Calcular o número de mols n. Usamos a equação dos gases ideais:
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, R a constante universal dos gases ( R = 8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}) e T a temperatura absoluta. Isolando n:
n=\frac{PV}{RT}.
Substituindo os valores (tudo em SI):
n=\frac{(1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa})\,(0,0224\\ \mathrm{m^3})}{(8,314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}})\,(273,15\\ \mathrm{K})}.
Calculemos numerador e denominador separadamente:
PV = 1,01325\times10^{5}\times0,0224 = 2269,68\\ \mathrm{J},
RT = 8,314462618\times273,15 = 2271,095\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Portanto
n=\frac{2269,68}{2271,095}\approx0,9994\\ \mathrm{mol}.
Observação didática rápida: é conhecido que o volume molar em CNTP (0ºC e 1 atm) é aproximadamente 22,4\\ \mathrm{L/mol}, então ter 22,4\\ \mathrm{L} corresponde a cerca de 1 mol — esse é um atalho válido em prova.

Passo 3

Calcular o número de átomos. Usamos o número de Avogadro \,N_A = 6,02214076\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}. O número total de átomos é
N = n\,N_A.
Substituindo:
N = 0,9994\times(6,02214076\times10^{23}) \approx 6,018\times10^{23}\\ \text{átomos}.á
Se usar o atalho n\approx1\\ \mathrm{mol}, obtém-se N\approx6,022\times10^{23} átomos.

Passo 4

Energia cinética média por átomo. Pela teoria cinética dos gases, para um gás monoatômico a energia cinética translacional média por partícula é
\langle E_{\mathrm{cin}}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T,
onde k_B é a constante de Boltzmann ( k_B = 1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}) e T a temperatura em kelvin. Explicação: cada grau de liberdade translacional contribui com \tfrac{1}{2}k_B T para a energia média; um átomo livre tem três graus de liberdade (x,y,z), logo 3\times\tfrac{1}{2}k_B T.
Substituindo:
\langle E_{\mathrm{cin}}\rangle = \tfrac{3}{2}\,(1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}})\,(273,15\\ \mathrm{K}).
Calculemos:
1,380649\times10^{-23}\times273,15 \approx 3,77124\times10^{-21}\\ \mathrm{J},
\langle E_{\mathrm{cin}}\rangle = \tfrac{3}{2}\times3,77124\times10^{-21} \approx 5,6569\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Para uma intuição alternativa, em elétron-volts:
1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
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\langle E_{\mathrm{cin}}\rangle \approx \frac{5,6569\times10^{-21}}{1,60218\times10^{-19}}\approx0,0353\\ \mathrm{eV}.

Passo 5

Velocidade quadrática média ( v_{\mathrm{rms}}). A relação entre energia cinética média por partícula e velocidade é
\langle E_{\mathrm{cin}}\rangle = \tfrac{1}{2}m\,v_{\mathrm{rms}}^{2},
onde m é a massa de uma partícula (a massa de um átomo de hélio). Isolando v_{\mathrm{rms}}:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}.
Agora precisamos de m. A massa de um átomo de hélio (massa atômica aproximada 4,002602\\ \mathrm{u}) em kg é
m = 4,002602\\ \mathrm{u}\times(1,66053906660\times10^{-27}\\ \mathrm{kg/u}) \approx 6,64648\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Substituindo na fórmula:
v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3\times1,380649\times10^{-23}\times273,15}{6,64648\times10^{-27}}}.
Calculemos passo a passo:
3k_B T \approx 1,13137\times10^{-20}\\ \mathrm{J},
\frac{3k_B T}{m} \approx \frac{1,13137\times10^{-20}}{6,64648\times10^{-27}} \approx 1,703\times10^{6}\\ \mathrm{m^2/s^2},
v_{\mathrm{rms}} \approx \sqrt{1,703\times10^{6}} \approx 1,304\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto v_{\mathrm{rms}}\approx 1{,}30\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}. Observação: dá para usar também a fórmula com massa molar M (em kg/mol): v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}} e obter o mesmo resultado.

Passo 6

Energia interna do gás. Para um gás ideal monoatômico, a energia interna total (energia interna interna translacional) é
U = \tfrac{3}{2}nRT,
onde n é o número de mols. Explicação: cada mol tem N_A partículas, cada partícula tem \tfrac{3}{2}k_B T de energia média, multiplicando resulta em \tfrac{3}{2}nRT.
Usando n calculado antes (ou usando a identidade nRT = PV):
U = \tfrac{3}{2}nRT = \tfrac{3}{2}(PV).
Como já calculamos PV = 2269,68\\ \mathrm{J}, segue
U = \tfrac{3}{2}\times2269,68 \approx 3404,52\\ \mathrm{J}.
Se tivesse usado n=1\\ \mathrm{mol} (atalho), obteria U=\tfrac{3}{2}RT \approx 3406,64\\ \mathrm{J}. A diferença é pequena porque n estava muito próximo de 1.

Resposta

(a) n \approx 0,9994\\ \mathrm{mol} \
N \approx 6,018\times10^{23}\\ \text{átomos}á
(b) \langle E_{\mathrm{cin}}\rangle \approx 5,6569\times10^{-21}\\ \mathrm{J} \left(\approx0,0353\\ \mathrm{eV}\right) \
v_{\mathrm{rms}} \approx 1,30\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
(c) U \approx 3404,5\\ \mathrm{J}

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