Deduzir as três equações para o dimensionamento de vigas em concreto armado (com \mathrm{f}_{\mathrm{ck}} \leq 50 \mathrm{MPa} ), elaboradas com armadura longitudinal simples.

Passo 1

O que o enunciado pede e as hipóteses iniciais (o que nos é dado):
  • Pede deduzir as três equações usadas no dimensionamento de vigas com armadura longitudinal simples, para concreto com \mathrm{f}_{\mathrm{ck}}\le 50\\ \mathrm{MPa}.
  • Vamos trabalhar com uma seção retangular de largura b e altura útil (braço útil) d. A armadura ativa (tração) tem área A_s e se situa a uma distância d da face comprimida.
  • Definições e convenções que usaremos (cada símbolo será explicado quando aparecer):
    • \mathrm{f}_{\mathrm{ck}}: resistência característica do concreto à compressão (MPa).
    • \displaystyle f_{cd}: resistência de cálculo do concreto (usada em projeto), normalmente \displaystyle f_{cd}=\dfrac{f_{ck}}{\gamma_c} (vou mencionar \gamma_c quando necessário).
    • E_s: módulo de elasticidade do aço (tipicamente \displaystyle E_s\approx210\,000\\ \mathrm{MPa}).
    • \varepsilon_{cu}: deformação última do concreto na fibra mais comprimida (tipicamente \varepsilon_{cu}=0,0035 em muitos códigos).
    • Para \mathrm{f}_{\mathrm{ck}}\le 50\\ \mathrm{MPa} adotamos o bloco de tensões rectangular equivalente com parâmetros típicos:
      • intensidade média do bloco \alpha=0{,}85 (ou \alpha_{cc}=0{,}85),
      • profundidade do bloco igual a \lambda x com \lambda=0{,}8,
        onde x é a distância da fibra comprimida até o eixo neutro.
  • Objetivo: deduzir (1) a equação de equilíbrio de forças (compressão do concreto = tração do aço), (2) a equação de compatibilidade que relaciona a tensão do aço com x, e (3) a equação do momento resistente em função das grandezas anteriores.
  • Observação: toda a dedução parte das hipóteses clássicas: distribuição linear de deformações na seção, bloco rectangular equivalente para a tensão do concreto, e comportamento elástico-linear do aço até escoamento (podemos depois limitar f_s ao valor de escoamento f_{yd} se necessário).

Passo 2

Explicando o bloco de tensões equivalente e a força de compressão no concreto (fórmula da compressão):
  • Motivação física curta: a tensão compressiva real no concreto não é uniforme, mas pode ser aproximada por um bloco retangular de intensidade média \alpha f_{cd} e altura \lambda x. Para \mathrm{f}_{\mathrm{ck}}\le 50\\ \mathrm{MPa} usa-se tipicamente \alpha=0{,}85 e \lambda=0{,}8.
  • A resultante da compressão no concreto (força de compressão) é a intensidade do bloco vezes a área comprimida da seção:
C=\text{(tensão média)}\times\text{(área)}=\alpha\,f_{cd}\times(b\cdot(\lambda x)).ãéá
  • Portanto, escrevemos em forma exibida:
C=\alpha\,f_{cd}\,b\,\lambda x.
  • Explicando cada símbolo: C é a força resultante de compressão no concreto, b é a largura da viga, x é a profundidade do eixo neutro medida desde a face comprimida, \lambda x é a altura do bloco equivalente e f_{cd} é a resistência de cálculo do concreto (unidade MPa = N/mm^2).

Passo 3

A força de tração na armadura e a hipótese sobre a tensão no aço:
  • A força de tração desenvolvida pela armadura é simplesmente a tensão no aço multiplicada pela sua área:
T=A_s\,f_s.
  • Aqui f_s é a tensão no aço na camada ativa no estado último. Em geral f_s pode ser obtida por duas maneiras:
    1. Se o aço já atingiu escoamento então f_s toma o valor de escoamento de cálculo f_{sd} (ou f_{yd}, conforme notação do código).
    2. Se o aço não atingiu escoamento, usa-se a lei de Hooke: \displaystyle f_s=E_s\,\varepsilon_s, onde \varepsilon_s é a deformação do aço na posição da armadura.
  • Mais adiante vamos relacionar \varepsilon_s com x (compatibilidade de deformações).

Passo 4

Equilíbrio de forças (primeira equação): compressão do concreto igual à tração do aço
  • No estado último, assumimos que as forças internas se equilibram (somatório de forças verticais = 0). Assim:
C=T.
  • Substituindo as expressões de C e T obtidas:
\alpha\,f_{cd}\,b\,\lambda x = A_s\,f_s.
  • Esta é a primeira equação fundamental usada no dimensionamento de vigas com armadura simples. Interpretação prática: a compressão no concreto (esquentada pelo bloco equivalente) deve ser absorvida pela tração nas barras de aço.

Passo 5

Compatibilidade de deformações e expressão da tensão do aço em função de x (segunda equação):
  • Hipótese básica: distribuição linear de deformações pela altura da seção (hipótese de Bernoulli). Na fibra mais comprimida a deformação é a deformação última do concreto \varepsilon_{cu}. No ponto onde está a armadura, a deformação é menor; por semelhança de triângulos:
\frac{\varepsilon_s}{\varepsilon_{cu}}=\frac{d-x}{x}.
  • Portanto a deformação do aço é
\varepsilon_s=\varepsilon_{cu}\,\frac{d-x}{x}.
  • Se o aço estiver no regime elástico (ou antes do escoamento), aplicamos Hooke:
f_s=E_s\,\varepsilon_s=E_s\,\varepsilon_{cu}\,\frac{d-x}{x}.
  • Esta é a segunda equação: ela dá f_s em função da geometria d,x e das propriedades E_s,\varepsilon_{cu}. Lembrete prático: se o valor calculado de f_s exceder f_{yd} então, na prática, toma-se f_s=f_{yd} porque o aço já escoou.

Passo 6

Equação do momento resistente (terceira equação): momento por ação das forças internas
  • O momento resistente total M (momento nominal máximo que a seção pode resistir) é a resultante da força de tração T aplicada com seu braço interno z em relação ao centro da compressão. Para o bloco rectangular equivalente a posição da resultante de compressão situa-se em meia-altura do bloco, ou seja a uma distância \dfrac{\lambda x}{2} da face comprimida; então o braço interno entre T e C é:
z = d - \frac{\lambda x}{2}.
  • Logo o momento resistente é:
M = T\cdot z = A_s\,f_s\left(d-\frac{\lambda x}{2}\right).
  • Substituindo f_s por sua expressão (quando não escoado) ou usando diretamente o valor de projeto do esforço na armadura (se escoado), obtém-se o valor de M.
  • Esta é a terceira equação: relaciona o momento resistente com A_s,f_s,d e x.

Passo 7

Formas úteis e formas adimensionais (para facilitar aplicação em prova)
  • Usando a equação de equilíbrio \alpha f_{cd} b \lambda x = A_s f_s podemos eliminar A_s f_s na equação do momento e escrever M unicamente em função de x:
M=\alpha\,f_{cd}\,b\,\lambda x\left(d-\frac{\lambda x}{2}\right).
  • É conveniente trabalhar com grandezas adimensionais: defina \xi=\dfrac{x}{d} e \mu=\dfrac{M}{f_{cd}\,b\,d^{2}}. Substituindo obtém-se a relação adimensional entre \mu e \xi:
\mu=\alpha\,\lambda\,\xi\left(1-\frac{\lambda\,\xi}{2}\right).
  • Também, a partir da equação de equilíbrio, escrevendo por exemplo a taxa de armadura \rho=\dfrac{A_s}{b d}, tem-se:
\alpha\,\lambda\,\xi=\rho\,\frac{f_s}{f_{cd}}.
  • Essas formas são úteis em prova: para um dado momento M e seção b,d, busca-se \xi da relação adimensional; daí x=\xi d; posteriormente obtém-se a A_s por A_s=\dfrac{\alpha f_{cd} b \lambda x}{f_s} (ou se o aço escoa usar f_s=f_{yd}).

Passo 8

Resumo didático e observações práticas (para a prova)
  • Passo a passo para usar as equações na prática:
    1. Decida se o aço vai escoar. Se assumir escoamento, tome f_s=f_{yd} (valor de projeto do escoamento); caso contrário calcule f_s pela compatibilidade (Passo 5) e verifique se é ≤ f_{yd}.
    2. Use a equação de equilíbrio \alpha f_{cd} b \lambda x = A_s f_s para relacionar A_s e x.
    3. Use a equação do momento M=A_s f_s (d-\lambda x/2) ou a versão com M=\alpha f_{cd} b \lambda x(d-\lambda x/2) para encontrar x ou A_s a partir do momento solicitado.
  • Valores numéricos típicos que você pode anotar para a prova (quando \mathrm{f}_{\mathrm{ck}}\le 50\\ \mathrm{MPa}):
    • \displaystyle \alpha=0{,}85,\quad \lambda=0{,}8,\quad \varepsilon_{cu}=0{,}0035,\quad E_s\approx210\,000\\ \mathrm{MPa}.
  • Atenção: em projeto real usar valores de projeto f_{cd} e f_{sd} conforme o código (fatores \gamma_c,\gamma_s). Em exercícios de teoria às vezes usam f_{c} e f_{s} diretamente; adapte conforme o enunciado.

Resposta

\displaystyle \alpha\,f_{cd}\,b\,\lambda x = A_s\,f_s
\displaystyle f_s = E_s\,\varepsilon_{cu}\,\frac{d-x}{x}
\displaystyle M = A_s\,f_s\left(d-\frac{\lambda x}{2}\right)

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