Deduzir as três equações para o dimensionamento de vigas em concreto armado (com
), elaboradas com armadura longitudinal simples.
Passo 1
O que o enunciado pede e as hipóteses iniciais (o que nos é dado):
- Pede deduzir as três equações usadas no dimensionamento de vigas com armadura longitudinal simples, para concreto com
. - Vamos trabalhar com uma seção retangular de largura
e altura útil (braço útil) . A armadura ativa (tração) tem área e se situa a uma distância da face comprimida. - Definições e convenções que usaremos (cada símbolo será explicado quando aparecer):
-
: resistência característica do concreto à compressão (MPa). -
: resistência de cálculo do concreto (usada em projeto), normalmente (vou mencionar quando necessário). -
: módulo de elasticidade do aço (tipicamente ). -
: deformação última do concreto na fibra mais comprimida (tipicamente em muitos códigos). - Para
adotamos o bloco de tensões rectangular equivalente com parâmetros típicos: - intensidade média do bloco
(ou ), - profundidade do bloco igual a
com ,
ondeé a distância da fibra comprimida até o eixo neutro.
- intensidade média do bloco
-
- Objetivo: deduzir (1) a equação de equilíbrio de forças (compressão do concreto = tração do aço), (2) a equação de compatibilidade que relaciona a tensão do aço com
, e (3) a equação do momento resistente em função das grandezas anteriores. - Observação: toda a dedução parte das hipóteses clássicas: distribuição linear de deformações na seção, bloco rectangular equivalente para a tensão do concreto, e comportamento elástico-linear do aço até escoamento (podemos depois limitar
ao valor de escoamento se necessário).
Passo 2
Explicando o bloco de tensões equivalente e a força de compressão no concreto (fórmula da compressão):
- Motivação física curta: a tensão compressiva real no concreto não é uniforme, mas pode ser aproximada por um bloco retangular de intensidade média
e altura . Para usa-se tipicamente e . - A resultante da compressão no concreto (força de compressão) é a intensidade do bloco vezes a área comprimida da seção:
- Portanto, escrevemos em forma exibida:
- Explicando cada símbolo:
é a força resultante de compressão no concreto, é a largura da viga, é a profundidade do eixo neutro medida desde a face comprimida, é a altura do bloco equivalente e é a resistência de cálculo do concreto (unidade MPa = N/mm^2).
Passo 3
A força de tração na armadura e a hipótese sobre a tensão no aço:
- A força de tração desenvolvida pela armadura é simplesmente a tensão no aço multiplicada pela sua área:
- Aqui
é a tensão no aço na camada ativa no estado último. Em geral pode ser obtida por duas maneiras: - Se o aço já atingiu escoamento então
toma o valor de escoamento de cálculo (ou , conforme notação do código). - Se o aço não atingiu escoamento, usa-se a lei de Hooke:
, onde é a deformação do aço na posição da armadura.
- Se o aço já atingiu escoamento então
- Mais adiante vamos relacionar
com (compatibilidade de deformações).
Passo 4
Equilíbrio de forças (primeira equação): compressão do concreto igual à tração do aço
- No estado último, assumimos que as forças internas se equilibram (somatório de forças verticais = 0). Assim:
- Substituindo as expressões de
e obtidas:
- Esta é a primeira equação fundamental usada no dimensionamento de vigas com armadura simples. Interpretação prática: a compressão no concreto (esquentada pelo bloco equivalente) deve ser absorvida pela tração nas barras de aço.
Passo 5
Compatibilidade de deformações e expressão da tensão do aço em função de
(segunda equação):
- Hipótese básica: distribuição linear de deformações pela altura da seção (hipótese de Bernoulli). Na fibra mais comprimida a deformação é a deformação última do concreto
. No ponto onde está a armadura, a deformação é menor; por semelhança de triângulos:
- Portanto a deformação do aço é
- Se o aço estiver no regime elástico (ou antes do escoamento), aplicamos Hooke:
- Esta é a segunda equação: ela dá
em função da geometria e das propriedades . Lembrete prático: se o valor calculado de exceder então, na prática, toma-se porque o aço já escoou.
Passo 6
Equação do momento resistente (terceira equação): momento por ação das forças internas
- O momento resistente total
(momento nominal máximo que a seção pode resistir) é a resultante da força de tração aplicada com seu braço interno em relação ao centro da compressão. Para o bloco rectangular equivalente a posição da resultante de compressão situa-se em meia-altura do bloco, ou seja a uma distância da face comprimida; então o braço interno entre e é:
- Logo o momento resistente é:
- Substituindo
por sua expressão (quando não escoado) ou usando diretamente o valor de projeto do esforço na armadura (se escoado), obtém-se o valor de . - Esta é a terceira equação: relaciona o momento resistente com
e .
Passo 7
Formas úteis e formas adimensionais (para facilitar aplicação em prova)
- Usando a equação de equilíbrio
podemos eliminar na equação do momento e escrever unicamente em função de :
- É conveniente trabalhar com grandezas adimensionais: defina
e . Substituindo obtém-se a relação adimensional entre e :
- Também, a partir da equação de equilíbrio, escrevendo por exemplo a taxa de armadura
, tem-se:
- Essas formas são úteis em prova: para um dado momento
e seção , busca-se da relação adimensional; daí ; posteriormente obtém-se a por (ou se o aço escoa usar ).
Passo 8
Resumo didático e observações práticas (para a prova)
- Passo a passo para usar as equações na prática:
- Decida se o aço vai escoar. Se assumir escoamento, tome
(valor de projeto do escoamento); caso contrário calcule pela compatibilidade (Passo 5) e verifique se é ≤ . - Use a equação de equilíbrio
para relacionar e . - Use a equação do momento
ou a versão com para encontrar ou a partir do momento solicitado.
- Decida se o aço vai escoar. Se assumir escoamento, tome
- Valores numéricos típicos que você pode anotar para a prova (quando
): -
- Atenção: em projeto real usar valores de projeto
e conforme o código (fatores ). Em exercícios de teoria às vezes usam e diretamente; adapte conforme o enunciado.