(1 ponto) Uma partícula move-se ao longo da trajetória y^{2}=9 x com uma velocidade escalar constante de v=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine as componentes x e y da velocidade e aceleração quando a partícula está em x=3 m. (Equivalente ao Problema 12.79 p. 36 )
Passo 1
O enunciado dá:
A trajetória da partícula: y^{2}=9x.
A velocidade escalar (magnitude da velocidade) é constante: v=3\\ \mathrm{m/s}.
Pede-se:
As componentes v_x e v_y da velocidade e as componentes a_x e a_y da aceleração quando x=3\\ \mathrm{m}.
Informações úteis imediatas (tiradas do enunciado):
Em x=3 temos y^{2}=9\cdot 3=27, logo y=\pm 3\sqrt{3}. Ou seja, há dois pontos da curva com essa abscissa: um com y=+3\sqrt{3} e outro com y=-3\sqrt{3}.
A velocidade escalar constante significa que a derivada temporal da magnitude da velocidade é zero (\dot v=0), isto influencia a aceleração (veremos adiante).
Passo 2
Primeiro calculo a derivada dy/dx da curva para relacionar componentes de velocidade. Diferenciando implicitamente y^{2}=9x em relação a x:
Portanto a inclinação da curva naquele ponto é \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Passo 3
Relação entre componentes da velocidade e a inclinação:
Defino v_x=\dot x e v_y=\dot y.
Como v_y=(dy/dx)\,v_x (regra da cadeia: \dot y = (dy/dx)\dot x).
A magnitude da velocidade é
v=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Substituindo v_y=(dy/dx)v_x obtemos
v^{2}=v_x^{2}\bigl(1+(y')^{2}\bigr),
onde y'=\dfrac{dy}{dx}. Assim
v_x=\pm\frac{v}{\sqrt{1+(y')^{2}}}.
O sinal depende do sentido do movimento ao longo da curva; se a partícula estiver indo para a direita toma-se o sinal +. Vou escolher v_x>0 (movimento para a direita), mas anoto a ambiguidade.
Agora a aceleração. Como a velocidade escalar é constante (\dot v=0), a componente tangencial da aceleração é nula e a aceleração é puramente normal à trajetória. Em fórmulas:
\mathbf a = v^{2}\kappa\,\mathbf n,
onde \kappa é a curvatura da curva e \mathbf n é o versor normal (apontando para o centro de curvatura). Para uma curva dada por y(x) vale