Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
\mathrm{p} \rightarrow \mathrm{q}, \mathrm{r} \rightarrow \mathrm{s}, \neg(\mathrm{q} \vee \mathrm{s}) \vdash \neg(\mathrm{p} \vee \mathrm{r})

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando tableaux semânticos, se o seguinte argumento é válido: \mathrm{p}\to\mathrm{q},\,\mathrm{r}\to\mathrm{s},\,\neg(\mathrm{q}\vee\mathrm{s})\;\vdash\;\neg(\mathrm{p}\vee\mathrm{r}).
O método de tableaux testa a validade mostrando que as fórmulas das premissas, junto com a negação da conclusão, formam um conjunto insatisfatível.

Passo 2

Formulamos o conjunto para o tableau como
\{\mathrm{p}\to\mathrm{q},\;\mathrm{r}\to\mathrm{s},\;\neg(\mathrm{q}\vee\mathrm{s}),\;\neg\neg(\mathrm{p}\vee\mathrm{r})\},
ou seja,
\{\mathrm{p}\to\mathrm{q},\;\mathrm{r}\to\mathrm{s},\;\neg(\mathrm{q}\vee\mathrm{s}),\;\mathrm{p}\vee\mathrm{r}\}.
Se todo ramo do tableau fechar, concluímos que não há modelo para esse conjunto, logo o argumento é válido.

Passo 3

Iniciamos o tableau e aplicamos a regra de disjunção em \mathrm{p}\vee\mathrm{r}, gerando dois ramos:
  1. Ramo 1 assume \mathrm{p}.
  2. Ramo 2 assume \mathrm{r}.
Em ambos os ramos também carregamos \mathrm{p}\to\mathrm{q}, \mathrm{r}\to\mathrm{s}
e \neg(\mathrm{q}\vee\mathrm{s}).

Passo 4

Expandimos cada ramo:
Ramo 1 ( \mathrm{p} é verdadeiro):
  • De \mathrm{p}\to\mathrm{q} e \mathrm{p} obtemos \mathrm{q}.
  • De \neg(\mathrm{q}\vee\mathrm{s}) obtemos simultaneamente \neg\mathrm{q} e \neg\mathrm{s}.
  • Logo aparece \mathrm{q} e \neg\mathrm{q}: ramo fechado.
Ramo 2 ( \mathrm{r} é verdadeiro):
  • De \mathrm{r}\to\mathrm{s} e \mathrm{r} obtemos \mathrm{s}.
  • De \neg(\mathrm{q}\vee\mathrm{s}) já tínhamos \neg\mathrm{s}.
  • Logo aparece \mathrm{s} e \neg\mathrm{s}: ramo fechado.
Como todos os ramos fecharam, o tableau é completamente fechado.

Resposta

O argumento é válido.

Exercícios relacionados