Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
(\neg \mathrm{p} \rightarrow \mathrm{q}),(\mathrm{q} \rightarrow \mathrm{r}) \vdash \mathrm{p}

Passo 1

Resumindo: queremos saber se, a partir das premissas \neg p \to q e q \to r, segue-se necessariamente p. O método de Tableaux diz que, para testar validade, assumimos todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, montamos a árvore semântica e verificamos se todas as ramificações fecham. Se alguma ficar aberta, o argumento é inválido e a ramificação aberta fornece um contraexemplo.

Passo 2

Começamos com o conjunto
S = \{\;\neg p \to q,\;q \to r,\;\neg p\;\}
onde \neg p representa a negação da conclusão p. Vamos expandir as fórmulas por suas regras de Tableaux.

Passo 3

Aplicando a regra de Tableaux para a implicação \neg p \to q, geramos duas ramificações, mantendo \neg p e q \to r em ambas:
– Ramificação 1: \neg(\neg p) (isto é, p)
– Ramificação 2: q
Em Ramificação 1 temos simultaneamente p e \neg p, o que é uma contradição. Logo essa ramificação fecha.

Passo 4

Restou a Ramificação 2, com o conjunto
\{\,q,\;\neg p,\;q \to r\}.
Agora expandimos q \to r, gerando duas subramificações:
– Subramificação 2.1: \neg q
– Subramificação 2.2: r
Em 2.1 aparece simultaneamente q e \neg q, outra contradição, então fecha.
Em 2.2 ficamos com
\{\,q,\;r,\;\neg p\},
sem nenhuma contradição. Essa ramificação permanece aberta.

Passo 5

Como existe uma ramificação aberta, o conjunto S é satisfatível, ou seja, há atribuições de verdade que tornam as duas premissas verdadeiras e p falsa. A própria ramificação aberta indica o modelo:
v(p)=F,\quad v(q)=T,\quad v(r)=T.

Resposta

O argumento é inválido. Um contraexemplo é dado por
v(p)=F,\quad v(q)=T,\quad v(r)=T,
pois aí \neg p\to q e q\to r são verdadeiras, mas p é falsa.

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