Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
Passo 1
Resumindo: queremos saber se, a partir das premissas
e
, segue-se necessariamente
. O método de Tableaux diz que, para testar validade, assumimos todas as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, montamos a árvore semântica e verificamos se todas as ramificações fecham. Se alguma ficar aberta, o argumento é inválido e a ramificação aberta fornece um contraexemplo.
Passo 2
Começamos com o conjunto
onde
representa a negação da conclusão
. Vamos expandir as fórmulas por suas regras de Tableaux.
Passo 3
Aplicando a regra de Tableaux para a implicação
, geramos duas ramificações, mantendo
e
em ambas:
– Ramificação 1: (isto é,
)
– Ramificação 2:
Em Ramificação 1 temos simultaneamente e
, o que é uma contradição. Logo essa ramificação fecha.
– Ramificação 1:
– Ramificação 2:
Em Ramificação 1 temos simultaneamente
Passo 4
Restou a Ramificação 2, com o conjunto
Agora expandimos
, gerando duas subramificações:
– Subramificação 2.1:
– Subramificação 2.2:
Em 2.1 aparece simultaneamente e
, outra contradição, então fecha.
Em 2.2 ficamos com
– Subramificação 2.1:
– Subramificação 2.2:
Em 2.1 aparece simultaneamente
Em 2.2 ficamos com
sem nenhuma contradição. Essa ramificação permanece aberta.
Passo 5
Como existe uma ramificação aberta, o conjunto
é satisfatível, ou seja, há atribuições de verdade que tornam as duas premissas verdadeiras e
falsa. A própria ramificação aberta indica o modelo:
Resposta
O argumento é inválido. Um contraexemplo é dado por
pois aí
e
são verdadeiras, mas
é falsa.