Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
(a \rightarrow b),(b \rightarrow c),(c \rightarrow d), \neg d \vdash \neg a

Passo 1

O enunciado pede para testar, pelo método de Tableaux, a validade do argumento cujas premissas são
a\rightarrow b,\quad b\rightarrow c,\quad c\rightarrow d,\quad \neg d
e cuja conclusão é \neg a. Em Tableaux, assinalamos validade assumindo todas as premissas verdadeiras e a negação da conclusão verdadeira, e então verificamos se toda a árvore se fecha (isto é, toda folha gera contradição).

Passo 2

Começamos a árvore com o conjunto
\{\,a\rightarrow b,\;b\rightarrow c,\;c\rightarrow d,\;\neg d,\;a\}.
Aqui a vem de \neg(\neg a), a negação da conclusão.

Passo 3

Aplicamos a regra do condicional em a\rightarrow b. Esta é uma fórmula do tipo β, logo geramos dois ramos:
– Ramo 1: \neg a
– Ramo 2: b No ramo 1 já temos a e \neg a, portanto este ramo fecha por contradição.

Passo 4

No ramo 2 carregamos agora
b,\quad b\rightarrow c,\quad c\rightarrow d,\quad \neg d.
Expandimos b\rightarrow c (também β), abrindo dois sub-ramos:
– Ramo 2.1: \neg b
– Ramo 2.2: c Em 2.1 há b e \neg b, então 2.1 fecha.

Passo 5

No ramo 2.2 temos
c,\quad c\rightarrow d,\quad \neg d.
Aplicamos c\rightarrow d (β), dividindo em:
– Ramo 2.2.1: \neg c
– Ramo 2.2.2: d Em 2.2.1 há c e \neg c, logo fecha.
Em 2.2.2 há d e \neg d, também fecha.

Resposta

O Tableaux fecha em todas as folhas, portanto o argumento é válido.

Exercícios relacionados