Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
(p \rightarrow q),(r \rightarrow s), p \vee r \vdash q \wedge s

Passo 1

Vamos testar a validade do argumento
(p\rightarrow q),\;(r\rightarrow s),\;p\vee r\;\vdash\;q\wedge s
usando tableaux semântica. Para isso, colocamos como premissas as fórmulas
(p\rightarrow q),\;(r\rightarrow s),\;(p\vee r)
e também negamos a conclusão:
\lnot\bigl(q\wedge s\bigr).
Se o tableaux fechar em todas as ramificações, o argumento é válido; caso contrário, há contraexemplo.

Passo 2

Listamos as fórmulas na raiz do tableaux:
1.\;(p\rightarrow q) \quad 2.\;(r\rightarrow s) \quad 3.\;(p\vee r) \quad 4.\;\lnot(q\wedge s)
Em seguida, aplicamos as regras de decomposição.

Passo 3

Decompomos a fórmula 4.\;\lnot(q\wedge s) pela regra da negação de conjunção, que vira disjunção:
\lnot(q\wedge s)\;\equiv\;\lnot q\;\vee\;\lnot s.
Isto gera duas ramificações:
  • Ramo A: \lnot q
  • Ramo B: \lnot s

Passo 4

No ramo A (onde assumimos \lnot q), decompomos 1.\;(p\rightarrow q) pela regra de implicação, que vira disjunção:
p\rightarrow q\;\equiv\;\lnot p\;\vee\;q.
Para buscar um ramo aberto, escolhemos a disjuntiva \lnot p.
Agora o ramo A traz:
\lnot q,\;\lnot p.

Passo 5

Ainda no ramo A, decompomos 3.\;(p\vee r). Isso gera duas subramificações:
  • A1: p
  • A2: r
Escolhemos a subramificação A2 com r, pois A1 levaria a contradição com \lnot p apenas depois de explorar outras fórmulas.
Agora temos
\lnot q,\;\lnot p,\;r.
Por fim, decompomos 2.\;(r\rightarrow s) como
r\rightarrow s\;\equiv\;\lnot r\;\vee\;s.
E, para manter a ramificação aberta, escolhemos s.
Passo a passo, o ramo A2 traz:
\lnot q,\;\lnot p,\;r,\;s.

Passo 6

No ramo A2 listamos literais:
\lnot q,\;\lnot p,\;r,\;s.
Não há contradição (não aparecem pares p \lnot p nem q \lnot q juntos). Logo esse ramo permanece aberto, o tableaux não fecha completamente e o argumento é inválido.
O ramo aberto fornece um contraexemplo ao argumento, atribuindo:
p = \text{F},\quad q = \text{F},\quad r = \text{T},\quad s = \text{T}.

Resposta

O argumento não é válido. Um contraexemplo é
p=\mathrm{F},\;q=\mathrm{F},\;r=\mathrm{T},\;s=\mathrm{T},
pois satisfaz todas as premissas mas torna q\wedge s falso.

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