Defina se os argumentos abaixo são válidos com Tableaux. Caso não sejam, mostre o contraexemplo.
(\mathrm{a} \rightarrow \mathrm{b}),(\mathrm{b} \rightarrow \mathrm{c}),(\mathrm{c} \rightarrow \mathrm{d}),(\mathrm{d} \rightarrow \mathrm{e}) \vdash \neg(\mathrm{a} \wedge \neg \mathrm{e})

Passo 1

O enunciado nos dá as premissas \;a\to b,\;b\to c,\;c\to d,\;d\to e
e pede para verificar se delas decorre \neg(a\land\neg e)
usando o método de Tableaux. Em Tableaux a validade de \Gamma\vdash\varphi
é demonstrada mostrando que o conjunto \Gamma\cup\{\neg\varphi\}
é insatisfatível (ou seja, o tableau fecha em todos os ramos).

Passo 2

Negamos a conclusão e reunimos tudo num único conjunto inicial:
\{\,a\to b,\;b\to c,\;c\to d,\;d\to e,\;a\land\neg e\}.
Em seguida aplicamos a regra de desdobramento de conjunção em a\land\neg e, obtendo as fórmulas atômicas
a \quad\text{e}\quad \neg e.

Passo 3

Aplicamos a regra de Tableaux para a implicação a\to b. Isso produz dois ramos, um com \neg a e outro com b:
Ramo 1: \neg a
Ramo 2: b

Passo 4

No Ramo 1 temos \neg a mas também já tínhamos a. Logo esse ramo fecha por contradição.
Fica portanto apenas o Ramo 2, que reúne até agora
b,\;a,\;\neg e,\;b\to c,\;c\to d,\;d\to e.

Passo 5

Expandimos b\to c em dois subramos: um com \neg b e outro com c.
No subramo \neg b fecha-se imediatamente com b.
Segue então o subramo com c, que acumula
c,\;b,\;a,\;\neg e,\;c\to d,\;d\to e.

Passo 6

Expandimos c\to d em \neg c e d.
O ramo \neg c fecha com c.
Segue o ramo com d, ficando
d,\;c,\;b,\;a,\;\neg e,\;d\to e.

Passo 7

Expandimos d\to e em \neg d e e.
O ramo \neg d fecha com d.
Segue então o ramo com e, que contém
e,\;d,\;c,\;b,\;a,\;\neg e.

Passo 8

No ramo atual temos e e \neg e, o que é uma contradição, fechando o último ramo.
Todos os ramos do tableau fecharam, mostrando que \{a\to b,\;b\to c,\;c\to d,\;d\to e,\;a,\;\neg e\}
é insatisfatível. Portanto o argumento original é válido.

Resposta

O argumento é válido.

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