1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{-1}= \{(2 t, t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 1) e E_{2}=\{(t,-3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas distintas. Vou listar claramente o que é dado e o que se quer em cada item:
  • Dados (tirados do enunciado):
    • O autoespaço associado ao autovalor -1 é E_{-1}=\{(2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}. (Ou seja, todos os múltiplos do vetor (2,1).)
    • O autoespaço associado ao autovalor 2 é E_{2}=\{(t,-3t)\mid t\in\mathbb{R}\}. (Ou seja, todos os múltiplos do vetor (1,-3).)
  • Perguntas:
    a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determinar uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 (ou seja, sua matriz A na base canônica) cujos auto-espaços sejam exatamente os dados acima (com os correspondentes autovalores -1 e 2).
    c) Dizer se existe uma base de autovetores para \mathbb{R}^2; se existir, apresentar a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
    d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
A partir daqui vou resolver passo a passo cada parte, mostrando todas as contas e explicando os conceitos usados.

Passo 2

(a) Definições e explicações didáticas (muito passo a passo e com exemplos simples)
  • Definição de autovetor e autovalor (relembrando de forma simples):
    • Seja T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n uma transformação linear. Um vetor não nulo v\in\mathbb{R}^n é chamado de autovetor se existe um escalar \lambda\in\mathbb{R} tal que
    T(v)=\lambda v.
    O escalar \lambda é chamado de autovalor associado a v.
    • Intuição: aplicar T no autovetor só alonga/encolhe e possivelmente inverte o sentido do vetor, não muda sua direção.
  • Definição de auto-espaço associado a um autovalor:
    • Para um autovalor \lambda, o auto-espaço associado é o conjunto de todos os vetores que satisfazem T(v)=\lambda v, juntamente com o vetor zero. Em termos de operação com matrizes, se A representa T, então o auto-espaço é o núcleo de A-\lambda I:
    E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n \mid (A-\lambda I)v=0\}=\ker(A-\lambda I).
    • Observação prática: E_{\lambda} é um subespaço linear (fechado por soma e multiplicação por escalar). No enunciado, por exemplo, E_{-1}=\{(2t,t)\} significa que E_{-1}=\text{span}\{(2,1)\}.
  • Definição de multiplicidade geométrica:
    • A multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda é a dimensão do auto-espaço E_{\lambda}:
    \text{multidade geométrica}(\lambda)=\dim(E_{\lambda}).é
    • Intuição: é o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda. Exemplo: se E_{\lambda} é uma reta passando pela origem (como no enunciado), então \dim(E_{\lambda})=1.
  • Comentário prático para prova:
    • Para verificar se um vetor v pertence a E_{\lambda}, basta checar A v=\lambda v (ou T(v)=\lambda v).
    • Para encontrar a multiplicidade geométrica, resolve-se (A-\lambda I)v=0 e conta-se a dimensão do espaço solução.

Passo 3

(b) Construção da matriz A com os auto-espaços dados — estratégia e execução detalhada
Estratégia (curta e prática para prova):
  • Se v_1 é um autovetor com autovalor \lambda_1 e v_2 é outro autovetor com autovalor \lambda_2, e se \{v_1,v_2\} é base de \mathbb{R}^2, então a matriz P com colunas v_1,v_2 satisfaz
A = P D P^{-1},
onde D=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\[4pt]0&\lambda_2\end{pmatrix}. Isso vem do fato que A v_i=\lambda_i v_i para cada coluna.
Aplicando aos dados do enunciado:
  • Podemos escolher um representante em cada auto-espaço: v_1=(2,1) (gerador de E_{-1}) e v_2=(1,-3) (gerador de E_2). Os autovalores correspondentes são \lambda_1=-1 e \lambda_2=2.
  • Definimos a matriz cujas colunas são v_1,v_2:
P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
  • Definimos a diagonal de autovalores:
D=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculamos A=P D P^{-1}. Primeiro calculo P D (é fácil: multiplica cada coluna de P pelo autovalor correspondente):
  • A primeira coluna de P multiplicada por -1 é (-2,-1)^T.
  • A segunda coluna de P multiplicada por 2 é (2,-6)^T.
    Portanto
P D=\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] -1 & -6\end{pmatrix}.
Ainda precisamos de P^{-1} para finalizar A; vou calcular P^{-1} no passo seguinte (já que precisa para o item d), e então concluir A. Mas para te adiantar o resultado final da multiplicação, após calcular P^{-1} e efetuar o produto obtemos
A=\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{7} & -\tfrac{6}{7} \\[4pt] -\tfrac{9}{7} & \tfrac{11}{7}\end{pmatrix}.
Vou verificar rápido que essa matriz realmente tem as propriedades exigidas: multiplicando A pelos geradores dos auto-espaços:
  • A(2,1)^T = (-2,-1)^T = -1\cdot(2,1)^T.
  • A(1,-3)^T = (2,-6)^T = 2\cdot(1,-3)^T.
    Logo os auto-espaços e autovalores estão corretos.]

Passo 4

(c) Existe base de autovetores? Construção explícita da matriz P e verificação de independência
  • Temos os dois autovetores escolhidos v_1=(2,1) e v_2=(1,-3). Para que formem uma base de \mathbb{R}^2 é necessário que sejam linearmente independentes, i.e., que não sejam múltiplos um do outro.
  • Verificação prática: calcule o determinante da matriz P cujas colunas são esses vetores:
\det(P)=\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]1&-3\end{pmatrix}=2\cdot(-3)-1\cdot1=-6-1=-7\neq 0.
  • Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, portanto, \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2. Assim existe uma base de autovetores.
  • A matriz P pedida (matriz de base de autovetores, cujas colunas são os autovetores) é
P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 5

(d) Cálculo de P^{-1} (detalhado), e verificação de que P^{-1} A P é diagonal com autovalores na diagonal
  1. Fórmula para a inversa de uma matriz 2\times 2:
  • Se M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} e \det(M)=ad-bc\neq 0, então
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
  1. Aplicando a P:
  • Aqui a=2, b=1, c=1, d=-3. Já calculamos \det(P)=-7.
  • Então
P^{-1}=\frac{1}{-7}\begin{pmatrix}-3 & -1 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3/7 & 1/7 \\[4pt] 1/7 & -2/7\end{pmatrix}.
  1. Verificação explícita de P^{-1} A P:
  • Já temos A=\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{7} & -\tfrac{6}{7} \\[4pt] -\tfrac{9}{7} & \tfrac{11}{7}\end{pmatrix} (calculado no Passo 3). Para mostrar que P^{-1} A P é diagonal procedemos com as multiplicações (eu mostro os passos principais):
    • Primeiro calculei P^{-1}A e obtive
    P^{-1}A=\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{7} & -\tfrac{1}{7} \\[4pt] \tfrac{2}{7} & -\tfrac{4}{7}\end{pmatrix}.
    • Multiplicando P^{-1}A por P
    P^{-1} A P=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
  • Isto confirma que a matriz resultante é diagonal e tem os autovalores -1 e 2 na diagonal principal (na ordem correspondente às colunas de P, ou seja primeiro -1 depois 2).
  • Observação conceitual: esse resultado era esperado: como as colunas de P são autovetores associados aos autovalores -1 e 2, a conjugação P^{-1} A P põe A na forma diagonal D com esses autovalores.]

Resposta

a) Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: \displaystyle E_{\lambda}=\{v\in\mathbb{R}^n\mid (A-\lambda I)v=0\} (ou seja, todos os vetores que satisfazem A v=\lambda v, formando um subespaço). Multiplicidade geométrica de \lambda: \dim(E_{\lambda}), o número de autovetores linearmente independentes associados a \lambda.
b) A=\begin{pmatrix}-\tfrac{4}{7} & -\tfrac{6}{7} \\[4pt] -\tfrac{9}{7} & \tfrac{11}{7}\end{pmatrix}.
c) Sim. Uma base de autovetores é \{(2,1),(1,-3)\} e a matriz P cujas colunas são esses autovetores é
P=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.
d) P^{-1}=\begin{pmatrix}3/7 & 1/7 \\[4pt] 1/7 & -2/7\end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

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