- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 1) e
(autovalor 2). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas distintas. Vou listar claramente o que é dado e o que se quer em cada item:
-
Dados (tirados do enunciado):
- O autoespaço associado ao autovalor
é . (Ou seja, todos os múltiplos do vetor .) - O autoespaço associado ao autovalor
é . (Ou seja, todos os múltiplos do vetor .)
- O autoespaço associado ao autovalor
-
Perguntas:
a) Definir o que é auto-espaço associado a um autovalor e o que é multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determinar uma transformação linear(ou seja, sua matriz na base canônica) cujos auto-espaços sejam exatamente os dados acima (com os correspondentes autovalores e ).
c) Dizer se existe uma base de autovetores para; se existir, apresentar a matriz cujas colunas são esses autovetores (a matriz de passagem da base de autovetores para a base canônica).
d) Calculare mostrar que é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
A partir daqui vou resolver passo a passo cada parte, mostrando todas as contas e explicando os conceitos usados.
Passo 2
(a) Definições e explicações didáticas (muito passo a passo e com exemplos simples)
-
Definição de autovetor e autovalor (relembrando de forma simples):
- Seja
uma transformação linear. Um vetor não nulo é chamado de autovetor se existe um escalar tal que
O escalaré chamado de autovalor associado a . - Intuição: aplicar
no autovetor só alonga/encolhe e possivelmente inverte o sentido do vetor, não muda sua direção.
- Seja
-
Definição de auto-espaço associado a um autovalor:
- Para um autovalor
, o auto-espaço associado é o conjunto de todos os vetores que satisfazem , juntamente com o vetor zero. Em termos de operação com matrizes, se representa , então o auto-espaço é o núcleo de :
- Observação prática:
é um subespaço linear (fechado por soma e multiplicação por escalar). No enunciado, por exemplo, significa que .
- Para um autovalor
-
Definição de multiplicidade geométrica:
- A multiplicidade geométrica de um autovalor
é a dimensão do auto-espaço :
- Intuição: é o número de autovetores linearmente independentes associados a
. Exemplo: se é uma reta passando pela origem (como no enunciado), então .
- A multiplicidade geométrica de um autovalor
-
Comentário prático para prova:
- Para verificar se um vetor
pertence a , basta checar (ou ). - Para encontrar a multiplicidade geométrica, resolve-se
e conta-se a dimensão do espaço solução.
- Para verificar se um vetor
Passo 3
(b) Construção da matriz
com os auto-espaços dados — estratégia e execução detalhada
Estratégia (curta e prática para prova):
- Se
é um autovetor com autovalor e é outro autovetor com autovalor , e se é base de , então a matriz com colunas satisfaz
onde
. Isso vem do fato que
para cada coluna.
Aplicando aos dados do enunciado:
- Podemos escolher um representante em cada auto-espaço:
(gerador de ) e (gerador de ). Os autovalores correspondentes são e . - Definimos a matriz cujas colunas são
:
- Definimos a diagonal de autovalores:
Agora calculamos
. Primeiro calculo
(é fácil: multiplica cada coluna de
pelo autovalor correspondente):
- A primeira coluna de
multiplicada por é . - A segunda coluna de
multiplicada por é .
Portanto
Ainda precisamos de
para finalizar
; vou calcular
no passo seguinte (já que precisa para o item d), e então concluir
. Mas para te adiantar o resultado final da multiplicação, após calcular
e efetuar o produto obtemos
Vou verificar rápido que essa matriz realmente tem as propriedades exigidas: multiplicando
pelos geradores dos auto-espaços:
-
. -
.
Logo os auto-espaços e autovalores estão corretos.]
Passo 4
(c) Existe base de autovetores? Construção explícita da matriz
e verificação de independência
- Temos os dois autovetores escolhidos
e . Para que formem uma base de é necessário que sejam linearmente independentes, i.e., que não sejam múltiplos um do outro. - Verificação prática: calcule o determinante da matriz
cujas colunas são esses vetores:
-
Como o determinante é diferente de zero, as colunas são linearmente independentes e, portanto,
é uma base de . Assim existe uma base de autovetores. -
A matriz
pedida (matriz de base de autovetores, cujas colunas são os autovetores) é
Passo 5
(d) Cálculo de
(detalhado), e verificação de que
é diagonal com autovalores na diagonal
- Fórmula para a inversa de uma matriz
:
- Se
e , então
- Aplicando a
:
- Aqui
, , , . Já calculamos . - Então
- Verificação explícita de
:
-
Já temos
(calculado no Passo 3). Para mostrar que é diagonal procedemos com as multiplicações (eu mostro os passos principais): - Primeiro calculei
e obtive
- Multiplicando
por dá
- Primeiro calculei
-
Isto confirma que a matriz resultante é diagonal e tem os autovalores
e na diagonal principal (na ordem correspondente às colunas de , ou seja primeiro depois ). -
Observação conceitual: esse resultado era esperado: como as colunas de
são autovetores associados aos autovalores e , a conjugação põe na forma diagonal com esses autovalores.]
Resposta
a) Auto-espaço associado a um autovalor
:
(ou seja, todos os vetores que satisfazem
, formando um subespaço). Multiplicidade geométrica de
:
, o número de autovetores linearmente independentes associados a
.
b)
c) Sim. Uma base de autovetores é
e a matriz
cujas colunas são esses autovetores é
d)
]