1. a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
    b) Determine uma transformação linear \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} com auto-espaços E_{0}=\{(t, 2 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 0 ) e E_{2}=\{(t,-3 t) \mid t \in \mathbb{R}\} (autovalor 2). Apresente a matriz A que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de \mathbb{R}^{2}.
    c) Existe base de autovetores para o \mathbb{R}^{2} ? Caso exista, obtenha a matriz P de base de autovetores para a base canônica.
    d) Calcule a matriz inversa de P e mostre que P^{-1} \cdot A \cdot P. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas distintas; vou listar cada pergunta e os dados fornecidos para não nos perdermos:
a) Definir exatamente o que é o auto-espaço associado a um autovalor e o que é a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Construir uma transformação linear \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 de modo que os auto-espaços e autovalores dados sejam:
E_{0}=\{(t,2t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }0\text{)}
E_{2}=\{(t,-3t)\mid t\in\mathbb{R}\}\quad\text{(autovalor }2\text{)}
e apresentar a matriz A dessa transformação na base canônica de \mathbb{R}^2.
c) Dizer se existe uma base formada por autovetores para \mathbb{R}^2. Se existir, fornecer a matriz P cujas colunas são esses autovetores (a matriz de mudança de base da base de autovetores para a base canônica).
d) Calcular P^{-1} e mostrar que P^{-1} A P é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Dados relevantes explícitos: os subespaços unidimensionais E_0 e E_2 (portanto cada um é gerado por um vetor) e os autovalores correspondentes 0 e 2.

Passo 2

Definições (explicadas devagar, como queremos):
  • Auto-espaço associado a um autovalor \lambda: é o conjunto de todos os vetores não-nulos v tais que \mathrm{T}(v)=\lambda v, acrescido do vetor zero. Em linguagem de transformações lineares, é o núcleo (espaço nulo) da transformação \mathrm{T}-\lambda I. Em fórmulas:
\text{o auto-espaço de }\lambda\text{ é }E_\lambda=\{v\in\mathbb{R}^n\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I).çé
Aqui, I é a identidade e \mathrm{T}-\lambda I é a transformação que envia v\mapsto \mathrm{T}(v)-\lambda v.
  • Multiplicidade geométrica de um autovalor \lambda: é a dimensão do auto-espaço E_\lambda. Ou seja,
\text{multiplicidade geométrica de }\lambda=\dim(E_\lambda).é
Comentário didático: a multiplicidade geométrica diz quantos vetores linearmente independentes são autovetores associados a \lambda. Se for igual ao expoente de \lambda no polinômio característico (multiplicidade algébrica), então no caso quadrado geralmente isso garante diagonalizabilidade; mas aqui só precisamos entender que é a dimensão do espaço de autovetores.

Passo 3

Escolha de autovetores para os auto-espaços fornecidos (é prático escolher geradores simples):
  • Para E_0=\{(t,2t)\}, um gerador natural é v_1=(1,2). Isso significa que todo vetor de E_0 é múltiplo de v_1 e \mathrm{T}(v_1)=0\cdot v_1=\mathbf{0}.
  • Para E_2=\{(t,-3t)\}, um gerador natural é v_2=(1,-3). Isso significa \mathrm{T}(v_2)=2\cdot v_2.
    Explicação: escolhi t=1 para cada auto-espaço para obter vetores simples.

Passo 4

Vamos construir a matriz A de \mathrm{T} na base canônica usando as propriedades dos autovalores sobre v_1 e v_2. Ideia: se conseguimos escrever os vetores canônicos e_1=(1,0) e e_2=(0,1) como combinações lineares de v_1 e v_2, então aplicamos \mathrm{T} nessas combinações usando que \mathrm{T}(v_1)=0 e \mathrm{T}(v_2)=2v_2. Em seguida obtemos as colunas de A como \mathrm{T}(e_1) e \mathrm{T}(e_2). Vou fazer passo a passo as decomposições.
Escrever e_1 como combinação de v_1 e v_2: procuramos \alpha,\beta tais que
(1,0)=\alpha(1,2)+\beta(1,-3)=(\alpha+\beta,\;2\alpha-3\beta).
Isto gera o sistema linear
\alpha+\beta=1,
2\alpha-3\beta=0.
Resolvendo: da primeira \alpha=1-\beta. Substituindo na segunda:
2(1-\beta)-3\beta=0\implies 2-5\beta=0\implies \beta=\tfrac{2}{5},
\alpha=1-\tfrac{2}{5}=\tfrac{3}{5}.
Portanto e_1=\tfrac{3}{5}v_1+\tfrac{2}{5}v_2. Agora aplicamos \mathrm{T}:
\mathrm{T}(e_1)=\tfrac{3}{5}\mathrm{T}(v_1)+\tfrac{2}{5}\mathrm{T}(v_2)=\tfrac{3}{5}\cdot\mathbf{0}+\tfrac{2}{5}\cdot 2v_2=\tfrac{4}{5}v_2.
Escrevendo \tfrac{4}{5}v_2 na base canônica:
\mathrm{T}(e_1)=\tfrac{4}{5}(1,-3)=\left(\tfrac{4}{5},-\tfrac{12}{5}\right).
Essa é a primeira coluna da matriz A.
Agora decompor e_2: procuramos \gamma,\delta tais que
(0,1)=\gamma(1,2)+\delta(1,-3)=(\gamma+\delta,\;2\gamma-3\delta),
o que dá o sistema
\gamma+\delta=0,
2\gamma-3\delta=1.
Da primeira \gamma=-\delta. Substituindo na segunda:
2(-\delta)-3\delta=1\implies -5\delta=1\implies \delta=-\tfrac{1}{5},
\gamma=\tfrac{1}{5}.
Logo e_2=\tfrac{1}{5}v_1-\tfrac{1}{5}v_2. Aplicando \mathrm{T}:
\mathrm{T}(e_2)=\tfrac{1}{5}\mathrm{T}(v_1)-\tfrac{1}{5}\mathrm{T}(v_2)=\tfrac{1}{5}\cdot\mathbf{0}-\tfrac{1}{5}\cdot 2v_2=-\tfrac{2}{5}v_2.
Escrevendo na base canônica:
\mathrm{T}(e_2)=-\tfrac{2}{5}(1,-3)=\left(-\tfrac{2}{5},\tfrac{6}{5}\right).
Essa é a segunda coluna de A.
Portanto a matriz A na base canônica é
A=\begin{pmatrix}\tfrac{4}{5} & -\tfrac{2}{5} \\[4pt] -\tfrac{12}{5} & \tfrac{6}{5}\end{pmatrix}.
Observação prática: podemos fatorar 1/5 se quisermos:
A=\tfrac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & -2 \\[4pt] -12 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação da existência de base de autovetores (parte c) e construção da matriz P:
Uma base de autovetores para \mathbb{R}^2 existe se os autovetores escolhidos forem linearmente independentes. Tomei v_1=(1,2) e v_2=(1,-3). Para checar a independência, calculo o determinante da matriz cujas colunas são v_1 e v_2:
\det\begin{pmatrix}1 & 1 \\[2pt] 2 & -3\end{pmatrix}=1\cdot(-3)-1\cdot 2=-3-2=-5\neq 0.
Determinante não nulo implica colunas linearmente independentes, logo \{v_1,v_2\} é uma base de \mathbb{R}^2 formada por autovetores. Portanto existe base de autovetores. A matriz P cujas colunas são esses autovetores (ordem: primeiro o gerador de E_0, depois o de E_2) é
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cálculo da inversa P^{-1} (fórmula 2×2 explicada e aplicada): Para uma matriz 2\times2
P=\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}
temos
P^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[2pt] -c & a\end{pmatrix},
desde que ad-bc\neq 0. Aqui a=1,b=1,c=2,d=-3 e já calculamos ad-bc=-5. Aplicando a fórmula:
P^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-3 & -1\\[2pt] -2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[2pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.
Cheque rápido mental: multiplicando P^{-1}P dá a identidade (confirmei durante o cálculo).]

Passo 7

Mostrar que P^{-1}AP é diagonal com os autovalores na diagonal principal (parte d):
Propriedade chave (explicação didática): se as colunas de P são autovetores v_1,v_2 com autovalores \lambda_1,\lambda_2, então A P = P D onde
D=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0\\[2pt] 0 & \lambda_2\end{pmatrix}.
Isso acontece porque a j-ésima coluna de AP é A v_j=\lambda_j v_j, que é exatamente a j-ésima coluna de P D. No nosso caso \lambda_1=0,\lambda_2=2, logo
D=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Como AP=PD, multiplicando à esquerda por P^{-1} obtemos
P^{-1}AP=D=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix},
que é uma matriz diagonal com os autovalores 0 e 2 na diagonal principal. Podemos também ver isso explicitamente calculando AP: as colunas de AP são A v_1=\mathbf{0} e A v_2=2v_2=(2,-6), então
AP=\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt] 0 & -6\end{pmatrix}=P\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Portanto P^{-1}AP é exatamente \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&2\end{pmatrix}.]

Resposta

a) O auto-espaço associado a \lambda é E_\lambda=\{v\in\mathbb{R}^n\mid \mathrm{T}(v)=\lambda v\}=\ker(\mathrm{T}-\lambda I). A multiplicidade geométrica de \lambda é \dim(E_\lambda).
b) A=\begin{pmatrix}\tfrac{4}{5} & -\tfrac{2}{5} \\[4pt] -\tfrac{12}{5} & \tfrac{6}{5}\end{pmatrix}.
c) Sim, existe. Uma base de autovetores é \{v_1=(1,2),\\ v_2=(1,-3)\} e
P=\begin{pmatrix}1 & 1\\[2pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
d) P^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5}\\[2pt] \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\end{pmatrix}, \qquad P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt] 0 & 2\end{pmatrix}.]

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