- a) Defina auto-espaço associado a um autovalor e multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Determine uma transformação linear
com auto-espaços
(autovalor 0 ) e
(autovalor 2). Apresente a matriz
que representa esta transformação linear com respeito à base canônica na base de
.
c) Existe base de autovetores para o
? Caso exista, obtenha a matriz
de base de autovetores para a base canônica.
d) Calcule a matriz inversa de
e mostre que
. é diagonal com os autovalores na diagonal principal.
b) Determine uma transformação linear
c) Existe base de autovetores para o
d) Calcule a matriz inversa de
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas distintas; vou listar cada pergunta e os dados fornecidos para não nos perdermos:
a) Definir exatamente o que é o auto-espaço associado a um autovalor e o que é a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Construir uma transformação linear de modo que os auto-espaços e autovalores dados sejam:
a) Definir exatamente o que é o auto-espaço associado a um autovalor e o que é a multiplicidade geométrica de um autovalor.
b) Construir uma transformação linear
e apresentar a matriz
dessa transformação na base canônica de
.
c) Dizer se existe uma base formada por autovetores para . Se existir, fornecer a matriz
cujas colunas são esses autovetores (a matriz de mudança de base da base de autovetores para a base canônica).
d) Calcular e mostrar que
é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal principal.
Dados relevantes explícitos: os subespaços unidimensionais e
(portanto cada um é gerado por um vetor) e os autovalores correspondentes
e
.
c) Dizer se existe uma base formada por autovetores para
d) Calcular
Dados relevantes explícitos: os subespaços unidimensionais
Passo 2
Definições (explicadas devagar, como queremos):
- Auto-espaço associado a um autovalor
: é o conjunto de todos os vetores não-nulos tais que , acrescido do vetor zero. Em linguagem de transformações lineares, é o núcleo (espaço nulo) da transformação . Em fórmulas:
Aqui,
é a identidade e
é a transformação que envia
.
- Multiplicidade geométrica de um autovalor
: é a dimensão do auto-espaço . Ou seja,
Comentário didático: a multiplicidade geométrica diz quantos vetores linearmente independentes são autovetores associados a
. Se for igual ao expoente de
no polinômio característico (multiplicidade algébrica), então no caso quadrado geralmente isso garante diagonalizabilidade; mas aqui só precisamos entender que é a dimensão do espaço de autovetores.
Passo 3
Escolha de autovetores para os auto-espaços fornecidos (é prático escolher geradores simples):
- Para
, um gerador natural é . Isso significa que todo vetor de é múltiplo de e . - Para
, um gerador natural é . Isso significa .
Explicação: escolhipara cada auto-espaço para obter vetores simples.
Passo 4
Vamos construir a matriz
de
na base canônica usando as propriedades dos autovalores sobre
e
. Ideia: se conseguimos escrever os vetores canônicos
e
como combinações lineares de
e
, então aplicamos
nessas combinações usando que
e
. Em seguida obtemos as colunas de
como
e
. Vou fazer passo a passo as decomposições.
Escrever
como combinação de
e
: procuramos
tais que
Isto gera o sistema linear
Resolvendo: da primeira
. Substituindo na segunda:
Portanto
. Agora aplicamos
:
Escrevendo
na base canônica:
Essa é a primeira coluna da matriz
.
Agora decompor
: procuramos
tais que
o que dá o sistema
Da primeira
. Substituindo na segunda:
Logo
. Aplicando
:
Escrevendo na base canônica:
Essa é a segunda coluna de
.
Portanto a matriz
na base canônica é
Observação prática: podemos fatorar
se quisermos:
Passo 5
Verificação da existência de base de autovetores (parte c) e construção da matriz
:
Uma base de autovetores para existe se os autovetores escolhidos forem linearmente independentes. Tomei
e
. Para checar a independência, calculo o determinante da matriz cujas colunas são
e
:
Uma base de autovetores para
Determinante não nulo implica colunas linearmente independentes, logo
é uma base de
formada por autovetores. Portanto existe base de autovetores. A matriz
cujas colunas são esses autovetores (ordem: primeiro o gerador de
, depois o de
) é
Passo 6
Cálculo da inversa
(fórmula 2×2 explicada e aplicada): Para uma matriz
temos
desde que
. Aqui
e já calculamos
. Aplicando a fórmula:
Cheque rápido mental: multiplicando
dá a identidade (confirmei durante o cálculo).]
Passo 7
Mostrar que
é diagonal com os autovalores na diagonal principal (parte d):
Propriedade chave (explicação didática): se as colunas de são autovetores
com autovalores
, então
onde
Propriedade chave (explicação didática): se as colunas de
Isso acontece porque a j-ésima coluna de
é
, que é exatamente a j-ésima coluna de
. No nosso caso
, logo
Como
, multiplicando à esquerda por
obtemos
que é uma matriz diagonal com os autovalores
e
na diagonal principal. Podemos também ver isso explicitamente calculando
: as colunas de
são
e
, então
Portanto
é exatamente
.]
Resposta
a) O auto-espaço associado a
é
. A multiplicidade geométrica de
é
.
b)
c) Sim, existe. Uma base de autovetores é
e
d)
]