- Defina força eletromotriz induzida em torno de uma circuito. Por que ela é nula na eletrostática?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Definir o que é a força eletromotriz induzida em torno de um circuito.
- Explicar por que essa força eletromotriz é nula na eletrostática.
Informações dadas (nenhuma adicional numérica): apenas a solicitação conceitual. Vou trabalhar com as definições integrais e diferenciais da lei de Faraday / equação de Maxwell apropriada para campos elétricos e magnéticos variáveis no tempo.
Passo 2
Definição matemática da força eletromotriz induzida: a força eletromotriz (f.e.m.) total ao longo de um circuito fechado
é o integral de linha do campo elétrico
ao longo desse contorno:
Explicando cada símbolo:
-
é a força eletromotriz (unidade: volt, ). -
é o campo elétrico (vetor) presente em cada ponto do espaço. -
é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do circuito, com direção tangente ao contorno . - O produto escalar
é a contribuição infinitesimal da força por unidade de carga ao longo daquele trecho.
A integral fechada soma essas contribuições ao longo de todo o circuito; se der diferente de zero, existe uma “força elétrica resultante” que pode produzir corrente.
Passo 3
Ligação com mudança do fluxo magnético (lei de Faraday, forma integral): quando o fluxo magnético
através de uma superfície
limitada por
muda com o tempo, aparece uma f.e.m. induzida dada por
onde
Explicando:
-
é o campo magnético. -
é o elemento de área orientado da superfície (a orientação de e de estão relacionadas pela regra da mão direita). - O sinal negativo é a Lei de Lenz: a f.e.m. induzida tem sentido tal que tende a se opor à variação do fluxo que a gerou.
Intuição física: uma variação decria um campo elétrico “em anel” não associável a uma diferença de potencial de origem eletrostática — esse campo pode gerar corrente num circuito fechado.
Passo 4
Forma diferencial (equação de Maxwell-Faraday) e interpretação do operador rotacional:
Explicando:
-
(rotacional de ) mede a tendência do campo elétrico a “girar” localmente; é uma densidade de circulação. -
diz que essa circulação local do campo elétrico é gerada pela taxa de variação temporal do campo magnético naquele ponto.
Usando o Teorema de Stokes, obtém-se a forma integral da lei de Faraday:
Observação sobre troca de derivada e integral: a troca
é válida quando a superfície
é fixa no espaço; para superfícies móveis aparecem termos geométricos adicionais (efeito de circuito em movimento), mas o ponto central é: variação de
no tempo gera circulação de
.
Passo 5
Por que a f.e.m. é nula na eletrostática (explicação conceitual e matemática):
Condição da eletrostática: cargas e campos elétricos são estacionários (não dependem do tempo) e não há campos magnéticos variando no tempo que gerem . Nessas condições vale
Condição da eletrostática: cargas e campos elétricos são estacionários (não dependem do tempo) e não há campos magnéticos variando no tempo que gerem
Quando o rotacional é zero, o campo elétrico é conservativo, isto é, existe um potencial escalar
tal que
Então a integral de linha ao longo de um circuito fechado dá
porque, num percurso fechado, o ponto final coincide com o inicial e a diferença de potencial é zero. Em outras palavras: campos conservativos não realizam trabalho líquido quando uma carga completa um circuito fechado, logo a f.e.m. medida ao longo de
é zero.
Passo 6
Intuição física com exemplos simples:
- Caso com induced emf ≠ 0: mover um ímã para dentro/fora de uma bobina muda
; aparece uma corrente induzida porque o campo elétrico criado tem circulação não nula (linhas de campo fechadas em torno da região de variação de ). - Caso eletrostático (f.e.m. = 0): colocar cargas estáticas em condutores cria diferenças de potencial locais, mas se fechar um laço ao redor não se obtém um potencial líquido que empurre cargas continuamente — nenhuma fonte de corrente contínua surge só por distribuição de cargas estáticas.
Essas duas situações deixam claro a diferença entre “diferença de potencial entre dois pontos” (pode ser não nula numa eletrostática) e “circulação do campo elétrico ao longo de um laço” (nula na eletrostática).
Passo 7
Resumo prático e dica para prova (forma curta que dá para lembrar na hora):
- Definição operacional:
. Se for gerada por variação do fluxo magnético, usa-se . - Por que zero na eletrostática: em eletrostática
e , logo . Guarda isso como um par de frases curtas: “campo conservativo → circulação zero” e “variação de fluxo magnético → circulação não nula”.
Resposta
(a)
, que pela lei de Faraday vale
, onde
.
(b) Na eletrostática não há variação temporal de , portanto
e
; isso torna
, ou seja, a f.e.m. é nula.
(b) Na eletrostática não há variação temporal de