1. Defina força eletromotriz induzida em torno de uma circuito. Por que ela é nula na eletrostática?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Definir o que é a força eletromotriz induzida em torno de um circuito.
  • Explicar por que essa força eletromotriz é nula na eletrostática.
Informações dadas (nenhuma adicional numérica): apenas a solicitação conceitual. Vou trabalhar com as definições integrais e diferenciais da lei de Faraday / equação de Maxwell apropriada para campos elétricos e magnéticos variáveis no tempo.

Passo 2

Definição matemática da força eletromotriz induzida: a força eletromotriz (f.e.m.) total ao longo de um circuito fechado \mathcal{C} é o integral de linha do campo elétrico \mathbf{E} ao longo desse contorno:
\mathcal{E} \;=\; \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.
Explicando cada símbolo:
  • \mathcal{E} é a força eletromotriz (unidade: volt, \mathrm{V}).
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor) presente em cada ponto do espaço.
  • d\mathbf{\ell} é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo do circuito, com direção tangente ao contorno \mathcal{C}.
  • O produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} é a contribuição infinitesimal da força por unidade de carga ao longo daquele trecho.
    A integral fechada soma essas contribuições ao longo de todo o circuito; se der diferente de zero, existe uma “força elétrica resultante” que pode produzir corrente.

Passo 3

Ligação com mudança do fluxo magnético (lei de Faraday, forma integral): quando o fluxo magnético \Phi_B através de uma superfície S limitada por \mathcal{C} muda com o tempo, aparece uma f.e.m. induzida dada por
\mathcal{E} \;=\; -\,\frac{d\Phi_B}{dt},
onde
\Phi_B \;=\; \int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
Explicando:
  • \mathbf{B} é o campo magnético.
  • d\mathbf{A} é o elemento de área orientado da superfície S (a orientação de S e de \mathcal{C} estão relacionadas pela regra da mão direita).
  • O sinal negativo é a Lei de Lenz: a f.e.m. induzida tem sentido tal que tende a se opor à variação do fluxo que a gerou.
    Intuição física: uma variação de \Phi_B cria um campo elétrico “em anel” não associável a uma diferença de potencial de origem eletrostática — esse campo pode gerar corrente num circuito fechado.

Passo 4

Forma diferencial (equação de Maxwell-Faraday) e interpretação do operador rotacional:
\nabla\times\mathbf{E} \;=\; -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.
Explicando:
  • \nabla\times\mathbf{E} (rotacional de \mathbf{E}) mede a tendência do campo elétrico a “girar” localmente; é uma densidade de circulação.
  • -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} diz que essa circulação local do campo elétrico é gerada pela taxa de variação temporal do campo magnético naquele ponto.
    Usando o Teorema de Stokes, obtém-se a forma integral da lei de Faraday:
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} \;=\; \int_{S} (\nabla\times\mathbf{E})\cdot d\mathbf{A} \;=\; -\int_{S} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A} \;=\; -\frac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A} \;=\; -\frac{d\Phi_B}{dt}.
Observação sobre troca de derivada e integral: a troca \dfrac{d}{dt}\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=\int_{S}\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{A} é válida quando a superfície S é fixa no espaço; para superfícies móveis aparecem termos geométricos adicionais (efeito de circuito em movimento), mas o ponto central é: variação de \mathbf{B} no tempo gera circulação de \mathbf{E}.

Passo 5

Por que a f.e.m. é nula na eletrostática (explicação conceitual e matemática):
Condição da eletrostática: cargas e campos elétricos são estacionários (não dependem do tempo) e não há campos magnéticos variando no tempo que gerem \nabla\times\mathbf{E}. Nessas condições vale
\nabla\times\mathbf{E} \;=\; \mathbf{0}.
Quando o rotacional é zero, o campo elétrico é conservativo, isto é, existe um potencial escalar V tal que
\mathbf{E} \;=\; -\nabla V.
Então a integral de linha ao longo de um circuito fechado dá
\mathcal{E} \;=\; \oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} \;=\; -\oint_{\mathcal{C}} \nabla V\cdot d\mathbf{\ell} \;=\; -\bigl(V(\text{final})-V(\text{inicial})\bigr) \;=\; 0,
porque, num percurso fechado, o ponto final coincide com o inicial e a diferença de potencial é zero. Em outras palavras: campos conservativos não realizam trabalho líquido quando uma carga completa um circuito fechado, logo a f.e.m. medida ao longo de \mathcal{C} é zero.

Passo 6

Intuição física com exemplos simples:
  • Caso com induced emf ≠ 0: mover um ímã para dentro/fora de uma bobina muda \Phi_B; aparece uma corrente induzida porque o campo elétrico criado tem circulação não nula (linhas de campo fechadas em torno da região de variação de \mathbf{B}).
  • Caso eletrostático (f.e.m. = 0): colocar cargas estáticas em condutores cria diferenças de potencial locais, mas se fechar um laço ao redor não se obtém um potencial líquido que empurre cargas continuamente — nenhuma fonte de corrente contínua surge só por distribuição de cargas estáticas.
    Essas duas situações deixam claro a diferença entre “diferença de potencial entre dois pontos” (pode ser não nula numa eletrostática) e “circulação do campo elétrico ao longo de um laço” (nula na eletrostática).

Passo 7

Resumo prático e dica para prova (forma curta que dá para lembrar na hora):
  • Definição operacional: \mathcal{E}=\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}. Se for gerada por variação do fluxo magnético, usa-se \mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}.
  • Por que zero na eletrostática: em eletrostática \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0} e \mathbf{E}=-\nabla V, logo \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=0. Guarda isso como um par de frases curtas: “campo conservativo → circulação zero” e “variação de fluxo magnético → circulação não nula”.

Resposta

(a) \mathcal{E}=\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}, que pela lei de Faraday vale \mathcal{E}=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}, onde \Phi_B=\displaystyle\int_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.
(b) Na eletrostática não há variação temporal de \mathbf{B}, portanto \nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0} e \mathbf{E}=-\nabla V; isso torna \displaystyle\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}=0, ou seja, a f.e.m. é nula.

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