Defina formalmente “Vazão Volumétrica” (
) e “Velocidade Média” (
). Como essas grandezas se relacionam matematicamente em um tubo de área de seção transversal
? Se o diâmetro do tubo dobra, mantendo a mesma vazão, o que acontece com a velocidade?
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Definir formalmente o que é a “Vazão Volumétrica”
. - Definir formalmente o que é a “Velocidade Média”
. - Mostrar como
e se relacionam matematicamente num tubo cuja área de seção transversal é . - Calcular o que acontece com a velocidade média se o diâmetro do tubo dobrar, mantendo a mesma vazão
.
Informações explícitas/assumidas:
- Há um tubo com área de seção transversal
. - O diâmetro do tubo passa a ser o dobro do original (
). - A vazão volumétrica
é mantida constante ao comparar os dois casos. - Pressupõe-se fluxo contínuo e incompressível (ou, mais geralmente, que a massa/volume que atravessa por unidade de tempo é conservada ao longo do tubo).
Passo 2
Definição formal de vazão volumétrica
(a “aula”):
A vazão volumétrica é o volume de fluido que atravessa uma superfície de seção por unidade de tempo. Formalmente, para um campo de velocidades num escoamento estacionário através de uma seção
,
A vazão volumétrica é o volume de fluido que atravessa uma superfície de seção por unidade de tempo. Formalmente, para um campo de velocidades
onde
é o versor normal à superfície
(para um tubo direito e escoamento ao longo do eixo,
é simplesmente a componente da velocidade perpendicular à seção). Explicando os termos:
-
é a velocidade local do fluido em cada ponto da seção (unidade: ). -
é um elemento diferencial de área na seção (unidade: ). -
tem unidade .
Intuição: somamos, ponto a ponto na área, quanto volume atravessa por segundo (velocidade × pequena área) e agregamos.
Passo 3
Definição formal de velocidade média
(a “aula”):
A velocidade média sobre a seção é o valor médio da componente normal da velocidade em toda a área, isto é
A velocidade média sobre a seção
Explicando:
- A média é feita dividindo-se a integral do campo de velocidade sobre a área pelo tamanho da área.
- Unidades de
: . - Se a velocidade for uniforme em toda a seção (caso conhecido como escoamento plug-flow), então
é constante e coincide com essa velocidade constante.
Passo 4
Relação matemática entre
,
e
(derivação direta):
Usando as definições anteriores,
Usando as definições anteriores,
Portanto, multiplicando a definição de
por
obtém-se a relação clássica
Interpretação: vazão é área multiplicada pela velocidade média perpendicular à área. Esta é a forma que aparece sempre na continuidade para escoamentos incompressíveis e estacionários.
Passo 5
Caso específico: tubo circular — relação com o diâmetro (a “aula”):
Se a seção é circular, a área está relacionada ao diâmetro
por
Se a seção é circular, a área
Isso é importante porque mostra como
escala com
.
Passo 6
O que ocorre com
quando o diâmetro dobra, mantendo
constante (cálculo direto):
Se o diâmetro passa a ser , a nova área é
Se o diâmetro passa a ser
Com
constante e usando
para o caso original e
para o caso novo, tem-se
Conclusão matemática: ao dobrar o diâmetro (mantendo
fixo) a velocidade média diminui por um fator quatro.
Passo 7
Intuição e lembrete prático (estímulo):
- Geometricamente, dobrar o diâmetro faz a área quadruplicar, então o mesmo volume por segundo fica “espalhado” em quatro vezes mais área — cada ponto recebe só um quarto da velocidade média anterior.
- Em provas: se pedirem rapidez, basta lembrar que
e quando é fixo, logo .
Passo 8
Observações importantes e hipóteses (para não cair em pegadinhas):
- A relação
vale para escoamento estacionário através de uma seção fixa, independentemente do perfil de velocidade (porque é definida a partir da integral). - Em escoamentos compressíveis (gases em regimes onde a densidade varia muito) ou em situações transientes, deve-se tomar cuidado: a continuidade envolve densidade
e a relação simples pode precisar de ajustes ( constante, por exemplo). - Aqui assumimos que as variáveis geométricas e o fluxo são comparáveis de forma direta (situação típica em problemas básicos de hidráulica/fluido).
Resposta
Relação:
Se o diâmetro dobra (