Defina formalmente “Vazão Volumétrica” ( Q ) e “Velocidade Média” ( V ). Como essas grandezas se relacionam matematicamente em um tubo de área de seção transversal A ? Se o diâmetro do tubo dobra, mantendo a mesma vazão, o que acontece com a velocidade?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Definir formalmente o que é a “Vazão Volumétrica” Q.
  • Definir formalmente o que é a “Velocidade Média” V.
  • Mostrar como Q e V se relacionam matematicamente num tubo cuja área de seção transversal é A.
  • Calcular o que acontece com a velocidade média se o diâmetro do tubo dobrar, mantendo a mesma vazão Q.
Informações explícitas/assumidas:
  • Há um tubo com área de seção transversal A.
  • O diâmetro do tubo passa a ser o dobro do original ( D' = 2D).
  • A vazão volumétrica Q é mantida constante ao comparar os dois casos.
  • Pressupõe-se fluxo contínuo e incompressível (ou, mais geralmente, que a massa/volume que atravessa por unidade de tempo é conservada ao longo do tubo).

Passo 2

Definição formal de vazão volumétrica Q (a “aula”):
A vazão volumétrica é o volume de fluido que atravessa uma superfície de seção por unidade de tempo. Formalmente, para um campo de velocidades \mathbf{v}(\mathbf{x}) num escoamento estacionário através de uma seção A,
Q=\int_{A} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA,
onde \mathbf{n} é o versor normal à superfície A (para um tubo direito e escoamento ao longo do eixo, \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é simplesmente a componente da velocidade perpendicular à seção). Explicando os termos:
  • \mathbf{v}(\mathbf{x}) é a velocidade local do fluido em cada ponto da seção (unidade: \mathrm{m/s}).
  • dA é um elemento diferencial de área na seção (unidade: \mathrm{m^2}).
  • Q tem unidade \mathrm{m^3/s}.
Intuição: somamos, ponto a ponto na área, quanto volume atravessa por segundo (velocidade × pequena área) e agregamos.

Passo 3

Definição formal de velocidade média V (a “aula”):
A velocidade média sobre a seção A é o valor médio da componente normal da velocidade em toda a área, isto é
V=\frac{1}{A}\int_{A} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA.
Explicando:
  • A média é feita dividindo-se a integral do campo de velocidade sobre a área pelo tamanho da área.
  • Unidades de V: \mathrm{m/s}.
  • Se a velocidade for uniforme em toda a seção (caso conhecido como escoamento plug-flow), então \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} é constante e V coincide com essa velocidade constante.

Passo 4

Relação matemática entre Q, V e A (derivação direta):
Usando as definições anteriores,
Q=\int_{A} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA \quad\text{e}\quad V=\frac{1}{A}\int_{A} \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA.
Portanto, multiplicando a definição de V por A obtém-se a relação clássica
Q = A\,V.
Interpretação: vazão é área multiplicada pela velocidade média perpendicular à área. Esta é a forma que aparece sempre na continuidade para escoamentos incompressíveis e estacionários.

Passo 5

Caso específico: tubo circular — relação com o diâmetro (a “aula”):
Se a seção é circular, a área A está relacionada ao diâmetro D por
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Isso é importante porque mostra como A escala com D^{2}.

Passo 6

O que ocorre com V quando o diâmetro dobra, mantendo Q constante (cálculo direto):
Se o diâmetro passa a ser D'=2D, a nova área é
A'=\frac{\pi {D'}^{2}}{4}=\frac{\pi (2D)^{2}}{4}=\frac{\pi 4D^{2}}{4}=4\;\frac{\pi D^{2}}{4}=4A.
Com Q constante e usando Q=AV para o caso original e Q=A'V' para o caso novo, tem-se
V'=\frac{Q}{A'}=\frac{Q}{4A}=\frac{1}{4}\,\frac{Q}{A}=\frac{V}{4}.
Conclusão matemática: ao dobrar o diâmetro (mantendo Q fixo) a velocidade média diminui por um fator quatro.

Passo 7

Intuição e lembrete prático (estímulo):
  • Geometricamente, dobrar o diâmetro faz a área quadruplicar, então o mesmo volume por segundo fica “espalhado” em quatro vezes mais área — cada ponto recebe só um quarto da velocidade média anterior.
  • Em provas: se pedirem rapidez, basta lembrar que A\propto D^{2} e V\propto 1/A quando Q é fixo, logo V\propto 1/D^{2}.

Passo 8

Observações importantes e hipóteses (para não cair em pegadinhas):
  • A relação Q=AV vale para escoamento estacionário através de uma seção fixa, independentemente do perfil de velocidade (porque V é definida a partir da integral).
  • Em escoamentos compressíveis (gases em regimes onde a densidade varia muito) ou em situações transientes, deve-se tomar cuidado: a continuidade envolve densidade \rho e a relação simples pode precisar de ajustes ( \dot{m}=\rho Q constante, por exemplo).
  • Aqui assumimos que as variáveis geométricas e o fluxo são comparáveis de forma direta (situação típica em problemas básicos de hidráulica/fluido).

Resposta

Q=\displaystyle\int_{A}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA (vazão volumétrica).
V=\dfrac{1}{A}\displaystyle\int_{A}\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,dA (velocidade média).
Relação: Q=A\,V.
Se o diâmetro dobra ( D'\!=\!2D) mantendo Q fixo, então A'\!=\!4A e a velocidade média fica V'=\dfrac{V}{4} (ou seja, reduz-se a um quarto).

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