Em diagramas de fluxo, linhas de corrente são usadas para visualização. Observando uma região onde as linhas de corrente se aproximam (convergem), o que se pode concluir sobre a magnitude da velocidade do fluido e sobre a pressão estática nessa região? Justifique usando a Equação da Continuidade e o Princípio de Bernoulli.

Passo 1

O enunciado dá uma região de um escoamento onde as linhas de corrente (streamlines) se aproximam — isto é, há convergência das linhas de corrente — e pede duas conclusões:
  • O que acontece com a magnitude da velocidade do fluido nessa região?
  • O que acontece com a pressão estática nessa região?
Informações relevantes fornecidas (implícitas no enunciado):
  • Observa-se convergência de linhas de corrente (streamlines passam a ficar mais próximas).
  • Não foram dados números nem um diagrama com elevação, por isso a análise será qualitativa, baseada em leis de conservação aplicáveis ao escoamento.

Passo 2

Entendendo o que significa “linhas de corrente convergindo”: imagine um feixe fino de linhas de corrente formando um “tubo de corrente” (streamtube). Um streamtube é um conjunto de linhas de corrente que envolvem um pequeno volume do fluido; cada seção transversal do streamtube tem uma área efetiva A perpendicular à direção média do escoamento. Quando as linhas de corrente se aproximam, isso corresponde a uma redução nessa área transversal A do streamtube. Portanto, da observação visual de convergência podemos interpretar que, localmente, a área transversal A disponível para o fluido está diminuindo.

Passo 3

Conservação de massa / Equação da Continuidade (explicação didática):
  • Para um fluido incompressível e escoamento estacionário, a massa que entra em uma seção do streamtube por unidade de tempo deve ser igual à massa que sai por outra seção.
  • A vazão volumétrica em uma seção é Q = A\,v, onde:
    • A é a área da seção transversal do streamtube ( \text{m}^2),
    • v é a velocidade média perpendicular à seção ( \text{m/s}).
  • Como o fluido é incompressível (densidade \rho constante) e o escoamento é estacionário, temos a relação de continuidade entre duas seções 1 e 2 do mesmo streamtube:
A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{constante}.
  • Significado prático: se a área A diminui, a velocidade média v deve aumentar para manter o produto A v constante.

Passo 4

Aplicando a continuidade ao caso de linhas de corrente convergentes:
  • Da observação (Passo 2) conclui-se que A_2 < A_1 quando as linhas convergem.
  • Usando \;A_1 v_1 = A_2 v_2\; segue que
v_2 = \frac{A_1}{A_2}\,v_1,
portanto \;v_2 > v_1.
  • Conclusão intermé-dia: a magnitude da velocidade aumenta na região onde as linhas de corrente convergem.

Passo 5

Enunciando o Princípio de Bernoulli (explicação didática e variáveis):
  • Para um escoamento estável, incompressível, sem atrito e sem trocas de energia com máquinas, ao longo de uma mesma linha de corrente vale a equação de Bernoulli:
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g z = \text{constante ao longo da linha de corrente},
onde
  • p é a pressão estática ( \text{Pa}),
  • \rho é a densidade do fluido ( \text{kg/m}^3),
  • v é a velocidade do fluido ( \text{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \text{m/s}^2),
  • z é a cota vertical (altura) da partícula de fluido ( \text{m}).
  • Interpretação das parcelas:
    • p representa energia por unidade de volume associada à pressão estática;
    • \tfrac12\rho v^2 é a energia cinética por unidade de volume (às vezes chamada de pressão dinâmica);
    • \rho g z é a energia potencial gravitacional por unidade de volume.
  • Observação importante: para comparar duas seções do mesmo streamtube usando Bernoulli, é necessário que as hipóteses (incompressível, estacionário, sem perdas por atrito, mesma linha de corrente) sejam razoavelmente válidas. Se a variação de cota z for desprezível, os termos \rho g z se cancelam.

Passo 6

Aplicando Bernoulli entre duas seções no mesmo streamtube (mesma elevação para simplificar):
  • Tomando seções 1 e 2 com z_1 = z_2, a equação de Bernoulli reduz a
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2}.
  • Reorganizando para obter a diferença de pressão:
p_2 - p_1 = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^{2} - v_2^{2}\bigr).
  • Como do Passo 4 sabemos que v_2 > v_1, então v_1^{2} - v_2^{2} < 0. Logo p_2 - p_1 < 0, ou seja, p_2 < p_1.
  • Conclusão intermé-dia: onde a velocidade aumenta (devido à convergência das linhas), a pressão estática diminui.

Passo 7

Exemplo numérico rápido (como “colinha” para prova):
  • Suponha que a área caia à metade: A_2 = \tfrac{1}{2}A_1. Pela continuidade, v_2 = 2 v_1.
  • A diferença de pressão é
p_2 - p_1 = \tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_1^{2} - v_2^{2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2}\bigl(1 - 4\bigr) = -\tfrac{3}{2}\rho v_1^{2}.
  • Isso mostra quantitativamente que a pressão reduz significativamente quando a velocidade cresce bastante.

Passo 8

Caveats e quando a conclusão pode não valer:
  • Compressibilidade: se o fluido é compressível e há variações de velocidade grandes (números de Mach significativos), a relação simples A v = \text{const} e a forma simples de Bernoulli deixam de ser suficientes; efeitos compressíveis podem inverter ou complicar o comportamento.
  • Perdas por atrito / viscosidade: em escoamentos muito visosos ou com perdas importantes, há queda de energia por atrito (perda de carga) e a equação de Bernoulli sem termo de perda não é aplicável diretamente; ainda assim, a tendência qualitativa (aumento de velocidade em contrição) costuma permanecer, mas a relação pressão–velocidade precisa incluir perdas.
  • Fluxos não estacionários: em escoamentos transientes a equação de Bernoulli estacionária não se aplica sem modificações.
  • Separação de fluxo, recirculação ou proximidade de superfícies podem gerar zonas com comportamento local diferente; por isso sempre declare as hipóteses ao usar a argumentação em prova.

Passo 9

Resumo estilo “o que escrever na prova” (curto e elegante):
  • Explique que a convergência de linhas implica redução da área A de um streamtube; pela continuidade A v= constante, logo v aumenta.
  • Aplique Bernoulli entre dois pontos à mesma cota: p+\tfrac{1}{2}\rho v^{2}= constante, daí maior v implica menor p.
  • Declare as hipóteses usadas: escoamento estacionário, incompressível, ao longo da mesma linha de corrente e sem perdas significativas.

Resposta

A magnitude da velocidade aumenta na região onde as linhas de corrente convergem.
A pressão estática diminui nessa região.

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