Defina a intensidade de um feixe de ondas eletromagnéticas. Em seguida, escreva a expressão do vetor de Poynting em termos dos campos elétrico (E) e magnético ( \mathbf{B} e \mathbf{H} ), indicando também a sua dimensão física.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Definir a intensidade de um feixe de ondas eletromagnéticas.
  • Escrever a expressão do vetor de Poynting em termos dos campos elétrico e magnético ( \mathbf{E}, \mathbf{B} e \mathbf{H}), indicando também a sua dimensão física (unidade / dimensão).
Não há outros dados numéricos nem figura no enunciado.

Passo 2

O que é, fisicamente, “intensidade” de um feixe eletromagnético?
  • Intuitivamente: intensidade é a quantidade de potência (energia por unidade de tempo) que atravessa uma unidade de área perpendicular à direção de propagação. É o “fluxo de potência por área”.
  • Em eletromagnetismo essa quantidade local é dada pelo vetor de Poynting \mathbf{S}, que em cada ponto descreve a densidade de fluxo de energia (potência por área) transportada pelo campo. Logo a intensidade média (o que usualmente se mede para um feixe) é a média temporal do módulo desse vetor. Em símbolo:
I=\langle|\mathbf{S}|\rangle,
onde os colchetes \langle\cdot\rangle indicam média temporal (por exemplo sobre um período para uma onda harmônica).

Passo 3

Agora vamos apresentar o vetor de Poynting e onde ele aparece: o chamado teorema de Poynting (conservação de energia dos campos eletromagnéticos). Para entender a origem, lembramos duas equações de Maxwell (em forma diferencial, no SI):
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t},
onde \mathbf{D} é o deslocamento elétrico, \mathbf{J} a densidade de corrente, \mathbf{B} o fluxo magnético e \mathbf{H} o campo magnético. Usando a identidade vetorial
\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H})=\mathbf{H}\cdot(\nabla\times\mathbf{E})-\mathbf{E}\cdot(\nabla\times\mathbf{H}),
e substituindo as equações de Maxwell, obtém-se, após rearranjar:
\nabla\cdot(\mathbf{E}\times\mathbf{H}) = -\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} - \left(\mathbf{E}\cdot\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}+\mathbf{H}\cdot\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right).
Reconhecendo a derivada temporal da densidade de energia eletromagnética
u=\tfrac{1}{2}\big(\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\big),
pode-se escrever a forma de conservação de energia (teorema de Poynting):
\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{S}=-\mathbf{E}\cdot\mathbf{J},
onde surge naturalmente o vetor de Poynting
\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}.
Interpretação: \mathbf{S} é a densidade de fluxo de energia (potência por área). O termo à direita -\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} é a potência dissipada nas cargas (trabalho por unidade de volume).

Passo 4

Expressões práticas em meios comuns:
  • Expressão geral (em meios lineares): \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}.
  • Em vácuo (ou em materiais onde \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} com \mu=\mu_0 no vácuo): usando \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0 obtemos a forma útil
\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo.

Passo 5

Unidades e dimensão física do vetor de Poynting (e portanto da intensidade):
  • Dimensionalmente, \mathbf{S} representa potência por área. A unidade SI de potência é o watt \mathrm{W} e de área é \mathrm{m^2}. Logo
[\mathbf{S}]=\mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Pode-se verificar a consistência dimensional usando \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}: [\mathbf{E}]=\mathrm{V\,m^{-1}} e [\mathbf{H}]=\mathrm{A\,m^{-1}}. Como \mathrm{V\cdot A}=\mathrm{W}, tem-se \mathrm{V\,m^{-1}\cdot A\,m^{-1}}=\mathrm{W\,m^{-2}}.
  • Em termos de grandezas fundamentais, \mathrm{W\,m^{-2}}=\mathrm{kg\,s^{-3}} (ou, escrevendo em símbolos de dimensão: \mathrm{M\,T^{-3}}).

Passo 6

Fórmulas úteis para ondas harmônicas planas (aplicação prática):
  • Para uma onda plana harmônica em vácuo, os módulos das amplitudes dos campos satisfazem \mathbf{B}_0=\tfrac{1}{c}\,\hat{k}\times\mathbf{E}_0 e B_0=E_0/c (onde c é a velocidade da luz). Como \mathbf{H}_0=\mathbf{B}_0/\mu_0, a intensidade média (média temporal sobre um período) fica
I=\langle|\mathbf{S}|\rangle=\left\langle\mathbf{E}\times\mathbf{H}\right\rangle =\frac{1}{2}\,\epsilon_0 c E_0^{2},
onde E_0 é a amplitude do campo elétrico e \epsilon_0 a permissividade do vácuo. Alternativamente, usando \mu_0 e c,
I=\frac{E_0^{2}}{2\mu_0 c}.
  • Forma em termos de valores eficazes (rms): se E_{\text{rms}}=E_0/\sqrt{2}, então I=\epsilon_0 c\,E_{\text{rms}}^{2}.

Passo 7

Resumo didático rápido (para levar na prova):
  • Intensidade: é a média temporal do módulo do vetor de Poynting, I=\langle|\mathbf{S}|\rangle.
  • Vetor de Poynting: \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}; em vácuo \mathbf{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
  • Unidade / dimensão: [\mathbf{S}]=\mathrm{W\,m^{-2}}=\mathrm{kg\,s^{-3}}.
    Vai dar certo — decore as fórmulas e o significado físico (fluxo de energia); na prova normalmente pedem exatamente isso.

Resposta

A intensidade é a média temporal do módulo do vetor de Poynting: I=\langle|\mathbf{S}|\rangle (fluxo de potência por unidade de área), unidade \mathrm{W\,m^{-2}}.
O vetor de Poynting é \mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}. Em vácuo usa-se \mathbf{S}=\dfrac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
Dimensão física: [\mathbf{S}]=\mathrm{W\,m^{-2}}=\mathrm{kg\,s^{-3}} (ou \mathrm{M\,T^{-3}}).

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