Um feixe de ondas eletromagnéticas planas possui intensidade de módulo igual a S. Este feixe incide sobre uma área plana A. O ângulo entre o vetor de
Poynting e um vetor normal a esta área é igual a \theta. Determine a potência total do feixe que atravessa esta área.

Passo 1

O que o enunciado dá:
  • A intensidade (módulo do vetor de Poynting) do feixe é S (unidade: \mathrm{W/m^2}).
  • A área plana atravessada pelo feixe tem área A (unidade: \mathrm{m^2}).
  • O ângulo entre o vetor de Poynting e um vetor normal à área é \theta.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar a potência total do feixe que atravessa essa área (unidade: \mathrm{W}).
    Observação implícita (usada depois): o feixe é plano e S é dado como módulo uniforme sobre a área (ou seja S e a direção do fluxo são constantes sobre A).

Passo 2

Conceito físico e fórmula de partida.
A potência que atravessa uma superfície é dada pelo fluxo do vetor de Poynting através dessa superfície. Em forma matemática:
P=\int_{A}\mathbf{S}\cdot d\mathbf{A},
onde:
  • \mathbf{S} é o vetor de Poynting (unidade \mathrm{W/m^2});
  • d\mathbf{A} é o vetor área elementar, com magnitude dA e direção igual à normal da superfície.
Explicação didática: \mathbf{S}\cdot d\mathbf{A} é o produto escalar entre o fluxo de energia por unidade de área e um elemento de área; ao integrar sobre toda a área obtemos a potência total que atravessa.

Passo 3

Representação do vetor área e produto escalar.
Escrevemos o elemento de área como
d\mathbf{A}=\hat{\mathbf{n}}\,dA,
onde \hat{\mathbf{n}} é o versor normal à superfície. O produto escalar entre \mathbf{S} e d\mathbf{A} vale
\mathbf{S}\cdot d\mathbf{A}=S\,\cos\theta\,dA,
porque:
  • S é o módulo de \mathbf{S};
  • o módulo de d\mathbf{A} é dA;
  • o produto escalar entre dois vetores de módulos S e dA com ângulo \theta entre eles é S\cdot dA\cdot\cos\theta.
    Intuição: só a componente de \mathbf{S} perpendicular à superfície (isto é, S\cos\theta) contribui para o fluxo através da área.

Passo 4

Integração sobre a área (caso uniforme).
Se S e a direção do feixe são constantes sobre a área (pressuposto do enunciado para feixe plano e intensidade dada), então podemos tirar S\cos\theta fora da integral:
P=\int_{A}S\cos\theta\,dA = S\cos\theta\int_{A}dA = S\,A\,\cos\theta.
Portanto a potência total que atravessa a área é S A \cos\theta.

Passo 5

Interpretação, unidades e dicas práticas.
  • Unidade: S tem \mathrm{W/m^2} e A tem \mathrm{m^2}, logo P tem \mathrm{W}, coerente.
  • Caso especial: se \theta=0 (vetor de Poynting paralelo à normal) obtém-se P=SA — máxima potência. Se \theta=90^\circ então P=0 — o feixe corre paralelo à superfície e não atravessa.
  • Atenção na prova: se o enunciado der o ângulo entre \mathbf{S} e o plano (não a normal), aí usa-se \sin em vez de \cos porque o ângulo com a normal é 90^\circ menos esse ângulo.
  • Exemplo rápido: se S=10\\ \mathrm{W/m^2}, A=2\\ \mathrm{m^2} e \theta=60^\circ, então P=10\cdot2\cdot\cos60^\circ=20\cdot\frac{1}{2}=10\\ \mathrm{W}. Força extra: respira, faz devagar e aplica a regra do produto escalar.

Resposta

P = S\,A\,\cos\theta

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