Defina Invariantes de um Tensor e indique como são obtidos os invariantes do tensor deformação.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente definir o que são invariantes de um tensor e depois mostrar como a gente tira esses invariantes pro tensor de deformação. Isso é conteúdo de Mecânica dos Sólidos / Continuação Mecânica, mais especificamente sobre propriedades de tensores de 2ª ordem. Pra resolver, a gente vai precisar entender:
  • O que é um invariantes (por que é o mesmo em qualquer base)
  • Como calcular traço, determinante e menores principais de um tensor
  • (Opcional) Relação com autovalores (as chamadas “deformações principais”)

Passo 2

Primeiro: o que é um invariante de tensor?
– É uma quantidade escalar associada ao tensor que não muda se você trocar de sistema de coordenadas (rotacionar, por exemplo).
– Os invariantes nos dão informação intrínseca: por exemplo, o traço tr(T) é o primeiro invariante; o determinante det(T) é o terceiro invariante.
– Por que isso funciona? Porque sob mudança de base ortonormal , o tensor muda como , mas e .

Passo 3

Para um tensor de 2ª ordem genérico I1 = tr(A) = A11+A22+A33 em 3D, definimos três invariantes principais:
  1. Primeiro invariante
I2 = tfrac12l[l(tr(A)r)^2 - tr(A^2)r] = A11A22+A11A33+A22A33 -A12A21-A13A31-A23A32
  1. Segundo invariante
I3 = det(A)
  1. Terceiro invariante
I1=lambda1+lambda2+lambda3, I2=lambda1lambda2+lambda1lambda3+lambda2lambda3, I3=lambda1lambda2lambda3
Além disso, se forem os autovalores de , a gente tem

Passo 4

Agora é só aplicar isso ao tensor deformação. Se chamarmos o tensor de deformação (pequenas deformações) de , então:
  • Basta trocar por nas fórmulas de .
  • Alternativamente, achamos as deformações principais (autovalores de ) e usamos as relações acima.

Resposta

As invariantes do tensor deformação boxed% I1 = tr(boldsymbolvarepsilon) = varepsilon11+varepsilon22+varepsilon33,% são:
boxed% I2 = tfrac12l[(tr,boldsymbolvarepsilon)^2 - tr(boldsymbolvarepsilon^2)r] = varepsilon11varepsilon22+varepsilon11varepsilon33+varepsilon22varepsilon33 -varepsilon12^2-varepsilon13^2-varepsilon23^2,%
boxed% I3 = det(boldsymbolvarepsilon)%

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