Defina Invariantes de um Tensor e indique como são obtidos os invariantes do tensor deformação.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente definir o que são invariantes de um tensor e depois mostrar como a gente tira esses invariantes pro tensor de deformação. Isso é conteúdo de Mecânica dos Sólidos / Continuação Mecânica, mais especificamente sobre propriedades de tensores de 2ª ordem. Pra resolver, a gente vai precisar entender:
- O que é um invariantes (por que é o mesmo em qualquer base)
- Como calcular traço, determinante e menores principais de um tensor
- (Opcional) Relação com autovalores (as chamadas “deformações principais”)
Passo 2
Primeiro: o que é um invariante de tensor?
– É uma quantidade escalar associada ao tensor que não muda se você trocar de sistema de coordenadas (rotacionar, por exemplo).
– Os invariantes nos dão informação intrínseca: por exemplo, o traço
– Por que isso funciona? Porque sob mudança de base ortonormal , o tensor muda como
, mas
e
.
– É uma quantidade escalar associada ao tensor que não muda se você trocar de sistema de coordenadas (rotacionar, por exemplo).
– Os invariantes nos dão informação intrínseca: por exemplo, o traço
tr(T)
é o primeiro invariante; o determinante det(T)
é o terceiro invariante.– Por que isso funciona? Porque sob mudança de base ortonormal
Passo 3
Para um tensor de 2ª ordem genérico
em 3D, definimos três invariantes principais:
- Primeiro invariante
- Segundo invariante
- Terceiro invariante
Além disso, se
forem os autovalores de
, a gente tem
Passo 4
Agora é só aplicar isso ao tensor deformação. Se chamarmos o tensor de deformação (pequenas deformações) de
, então:
- Basta trocar
por nas fórmulas de . - Alternativamente, achamos as deformações principais
(autovalores de ) e usamos as relações acima.
Resposta
As invariantes do tensor deformação
são: