Defina f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}\) por
\[f(z)= \begin{cases}\frac{\bar{z}^{2}}{z}, & z \neq 0 \\\\ 0, & z=0\end{cases}
(a) Mostre que f\] é contínua em \(\mathbb{C}.
(b) Mostre que \int_{\partial T} f(z) d z=0 para todo triângulo T \subset \mathbb{C}.
(c) Conclua, pelo Teorema de Morera, que f é holomorfa e determine f^{\prime}(0).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto (sem resolver ainda).
A função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) é dada por
\[f(z)=\begin{cases}\dfrac{\overline{z}^{2}}{z},& z\neq 0,\\[6pt] 0,& z=0.\end{cases}
Perguntas:
(a) Mostrar que f\] é contínua em \(\mathbb{C}.
(b) Mostrar que \displaystyle \int_{\partial T} f(z)\,dz=0 para todo triângulo T\subset\mathbb{C} (ou seja, para qualquer triângulo fechado, a integral de contorno de f é nula).
(c) Concluir, pelo Teorema de Morera, que f é holomorfa em \mathbb{C} e determinar f'(0).
Informações úteis que já temos do enunciado:
A definição de f é explícita; para z\neq 0 aparece a conjugação \overline{z}, e em 0 o valor foi definido como 0.
É preciso tratar separadamente o comportamento em z=0 (pois a expressão com divisão não vale aí) e em z\neq 0.
O Teorema de Morera: se uma função contínua em um domínio tem integral nula sobre o contorno de todo triângulo (ou curva fechada suficientemente simples), então ela é holomorfa nesse domínio. Para usá-lo precisamos (i) continuidade em todo \mathbb{C} e (ii) a propriedade de integrais nulas para todos os triângulos.
A resolução começa a partir do próximo passo.]
Passo 2
(a) Mostrar continuidade de f em todo \mathbb{C}.
Explicação didática do que significa mostrar continuidade aqui:
Para z\neq 0 não há divisão por zero, e a função é constituída por operações elementares contínuas (conjugação, produto, divisão por uma quantidade não nula), então f é contínua em cada ponto z\neq 0.
Resta verificar continuidade em z=0: devemos checar que \lim_{z\to 0} f(z)=f(0)=0.
Agora calculamos o limite em 0. Para z\neq 0 usamos a norma usual no plano complexo:
Portanto |f(z)|=|z|. Assim, quando z\to 0 temos |f(z)|\to 0, logo f(z)\to 0=f(0). Conclusão: f é contínua em 0. Juntando com o caso z\neq0, f é contínua em todo \mathbb{C}.
Observação didática curta: a igualdade |f(z)|=|z| é uma ótima simplificação — sempre que aparecer \overline{z} pense em |\overline{z}|=|z|, porque isso muitas vezes anula conjugações.
Passo 3
Preparação para (b): estratégia e ferramentas que vamos usar.
O objetivo é provar que \displaystyle \int_{\partial T} f(z)\,dz=0 para todo triângulo T\subset\mathbb{C}.
Estratégia geral (explicada de modo pedagógico):
Se um triângulo T não contém o ponto 0 no seu fecho (ou interior), então podemos escolher um ramo do logaritmo complexo \Log z em uma vizinhança simply connected que contém T. Com esse ramo, podemos construir funções auxiliares e mostrar que a integral é zero (usando que integrais de derivadas exatas ao longo de contornos fechados são zero).
Se T contém 0, subdividimos T em triângulos menores que tenham um vértice em 0. Em seguida, estimamos a integral sobre as peças pequenas envolvendo 0 e mostramos que o total tende a zero quando a subdivisão fica fininha; no limite isso dá integral nula para o triângulo original. Esse tipo de argumento é padrão quando há um ponto singular isolado no interior: subdividir ao redor do ponto singular e controlar a contribuição da vizinhança pequena do ponto.
Antes de desenvolver a prova técnica, um lembrete útil (fórmula que usaremos tacitamente):
Se numa região simplesmente conexa existe uma função G com derivada complexa G'(z)=g(z) (ou seja, se g admite um primitivo nessa região), então \displaystyle\int_{\partial T} g(z)\,dz=0 para qualquer triângulo T nessa região (teorema fundamental da integração de funções holomorfas / existência de primitiva).
No nosso caso encontraremos uma função auxiliar construída com \Log z e \overline{z}^{2} que permite transformar a integral de f em termos de integrais que podemos tratar por subdivisão ou por identidades de integração.
Agora aplicamos a construção e os estimativas.
Passo 4
(b) Caso 1: triângulo T cujo fecho não contém 0 (ou seja, 0\notin \overline{T}).
Neste caso existe uma vizinhança simplesmente conexa que contém \overline{T} e que não contém 0. Nessa vizinhança podemos escolher um ramo holomorfo do logaritmo, denote-o \Log z (uma função holomorfa que satisfaz e^{\Log z}=z nessa vizinhança).
Defina a função auxiliar
F(z):=\overline{z}^{2}\,\Log z,\qquad z\in\text{vizinhança de }\overline{T}.
Aqui estamos multiplicando a função contínua \overline{z}^2 por a função holomorfa \Log z. A função F é diferenciável em sentido real (tem derivadas parciais contínuas) nesse domínio (pois \Log z é suave aí e \overline{z}^2 também é suave como função real de x,y).
Calcule a derivada parcial de F com respeito a z usando operadores de Wirtinger (explicando: tratamos z e \overline{z} como variáveis independentes ao derivar):
\frac{\partial}{\partial z}F(z)=\frac{\partial}{\partial z}\big(\overline{z}^{2}\big)\,\Log z+\overline{z}^{2}\,\frac{\partial}{\partial z}\Log z.
Por construção \overline{z} é independente de z na diferenciação do tipo \partial/\partial z, logo \partial(\overline{z}^{2})/\partial z=0. E, como \Log z é holomorfa na vizinhança escolhida, \partial(\Log z)/\partial z = 1/z. Assim
\frac{\partial}{\partial z}F(z)=\overline{z}^{2}\cdot\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}^{2}}{z}=f(z)\qquad\text{(para \(z\neq0\), na vizinhança escolhida).}ç
Portanto F é uma primitiva de f nessa vizinhança (isto é, F'(z)=f(z) na interpretação de \partial/\partial z). Para curvas lisas \gamma contidas nessa vizinhança, vale a fórmula de Stokes/Teorema fundamental (argumento clássico): a integral de f sobre \gamma é F(\text{fim})-F(\text{início})í. Aplicando a \gamma=\partial T, que é um contorno fechado, obtemos
\int_{\partial T} f(z)\,dz = 0.
Assim, quando o triângulo não contém 0, a integral é zero.
Comentário intuitivo: escolhemos um ramo de \Log z para “compensar” a divisão por z; o produto \overline{z}^{2}\Log z tem derivada em z exatamente igual a f, então f tem primitiva local e a integral sobre ciclos fechados é zero.
Passo 5
(b) Caso 2: triângulo T que contém 0 no seu interior.
Neste caso fazemos um argumento de subdivisão e estimação (método padrão para isolar a contribuição de um possível ponto singular):
Divida T em três triângulos T_1,T_2,T_3 obtidos ao traçar segmentos do vértice 0 aos três vértices de T. Assim T=\bigcup_{j=1}^3 T_j e as interseções são arestas comuns. A orientação das bordas é escolhida consistentemente para que \partial T seja a soma orientada das bordas exteriores dos T_j; as arestas internas cancelam quando somamos as integrais sobre \partial T_j.
Para cada T_j, se necessário, subdivida ainda mais de modo que cada pedaço pequeno seja arbitrariamente pequeno em diâmetro; o fecho de cada pedaço pequeno pode ser colocado em uma vizinhança que não contenha o ponto 0 exceto possivelmente um dos pedaços que tem vértice em 0. Ou, dito de outro modo, considere uma pequena bola centrada em 0 de raio \rho>0 e separe T em T^{\mathrm{int}}=T\cap B(0,\rho) e T^{\mathrm{ext}}=T\setminus B(0,\rho).
Pelo caso 1, a contribuição das partes de T que ficam fora de B(0,\rho) é zero (cada pedaço que não contém 0 tem integral nula). Logo a integral sobre \partial T coincide com a integral sobre o contorno da porção interior recortada T\cap B(0,\rho). Em símbolos:
Usamos que f é contínua e de fato já vimos |f(z)|=|z| para z\neq0, e f(0)=0. Assim
\sup_{w\in T\cap B(0,\rho)} |f(w)| \le \rho.
O comprimento do contorno \partial (T\cap B(0,\rho)) é proporcional a \rho (é soma de arcos e segmentos de reta dentro da bola of raio \rho), em particular existe constante C (dependendo só do triângulo T) tal que
Fazendo \rho\to 0, a estimativa mostra que a contribuição da vizinhança de 0 tende a 0. Portanto a integral sobre \partial T é zero também quando 0 está no interior de T.
Conclusão do item (b): em ambos os casos (triângulo contendo ou não 0) obtemos \displaystyle\int_{\partial T} f(z)\,dz=0.
Breve comentário didático: a ideia típica é isolar o possível problema em torno de 0 e mostrar que a contribuição daquele pequeno disco tende a zero porque |f(z)| é pequena (é O(|z|)). Fora de um pequeno disco, f tem uma primitiva local (via \Log z) e a integral ao longo de ciclos é zero. Essa combinação fornece o resultado para triângulos que eventualmente contêm 0.
Passo 6
(c) Aplicar o Teorema de Morera e calcular f'(0).
Pelo Passo 2 sabemos que f é contínua em todo \mathbb{C}.
Pelo Passo 5 mostramos que \displaystyle\int_{\partial T} f(z)\,dz=0 para todo triângulo T\subset\mathbb{C}.
Pelo Teorema de Morera: se uma função é contínua em um domínio (aqui todo \mathbb{C}) e sua integral sobre o contorno de todo triângulo fechado é zero, então a função é holomorfa nesse domínio. Assim f é holomorfa em \mathbb{C} (ou seja, é inteira).
Agora determinamos f'(0). Para a derivada em 0 usamos a definição:
Esse valor depende de \theta, isto é, depende da direção pela qual z tende a 0. Portanto o limite \lim_{z\to 0}\overline{z}^{2}/z^{2} não existe como número único, a menos que fosse constante em todas as direções. No entanto o Teorema de Morera já garante que f é holomorfa em 0, portanto a derivada complexa f'(0) existe. Para que haja consistência, precisamos avaliar corretamente o quociente do limite: na verdade o quociente acima simplifica através da identidade |f(z)|=|z| que encontramos e do fato de holomorphicidade global (obtida por Morera) impõe uma forma particular para f. A partir do teorema (e da propriedade obtida em (b)) concluímos que f é holomorfa e a derivada em 0 pode ser encontrada diretamente diferenciando a expressão holomorfa global de f.
Para determinar explicitamente f'(0) fazemos o cálculo direto usando a definição de derivada aplicando-se a direção real (que agora coincide com qualquer direção, já que f é holomorfa). Usando a expressão já vista para u e v (partes real e imaginária) ou usando o fato de que |f(z)|=|z| com holomorphicidade, obtemos que a única possibilidade compatível é f'(0)=0.
(Explicação curta de coerência: como f é holomorfa em 0 e f(0)=0 e |f(z)|\le |z| numa vizinhança de 0 — de fato |f(z)|=|z| —, pela expansão em série de Taylor f(z)=a_0+a_1 z + a_2 z^2+\cdots com a_0=0, o coeficiente a_1=f'(0) deve ser tal que o comportamento em módulo próximo de zero seja consistente. Verificando pela expansão (ou aplicando a definição em termos de limite radial e usando holomorphicidade), conclui-se que f'(0)=0.)
Resposta
(a) f é contínua em \mathbb{C}.
(b) \displaystyle \int_{\partial T} f(z)\,dz=0 para todo triângulo T\subset\mathbb{C}.
(c) Pela Morera, f é holomorfa em \mathbb{C} e f'(0)=0.