Seja
dada por
(segmento vertical de 1 até
). Calcule
Depois, calcule a mesma integral usando a primitiva de
e comente a consistência.
Passo 1
O enunciado dá a curva
definida por
, que é o segmento vertical que vai do ponto
até o ponto
. Pede-se:
- Calcular
. - Recalcular a mesma integral usando a primitiva de
e comentar a consistência entre os resultados.
Informações relevantes fornecidas:
- A parametrização da curva é
para . - Os pontos inicial e final são
e .
Passo 2
Vou calcular a integral pela definição de integral de linha complexa, ou seja, parametrizando
por
e substituindo
e
.
Regra prática que uso aqui (explicando devagar):
- Se
é uma parametrização do caminho, então
Essa é a maneira direta de transformar a integral complexa numa integral de uma função complexa de uma variável real; integra-se componente real e imaginária normalmente.
Passo 3
Escrever
e
. Da parametrização:
Derivando em relação a
:
Assim
.
Passo 4
Calcular
. Faço a conta passo a passo:
Como
, segue
Passo 5
Formar o integrando
e simplificar:
Multiplicando termo a termo:
Portanto
Passo 6
Agora integro em
de
a
:
Integro as partes real e imaginária separadamente:
Somando as duas partes:
Passo 7
Agora calculo a integral usando uma primitiva. Primeiro lembrar o conceito (explicando devagar):
- Uma primitiva
de é uma função tal que . - Se
tem primitiva em um domínio que contém o caminho, então a integral de linha de ao longo do caminho depende apenas dos extremos, e vale . Isso é a versão complexa do teorema fundamental do cálculo (para integrais de linha de funções holomorfas).
Passo 8
Encontrar uma primitiva de
. É óbvio por analogia com cálculo real que
é uma primitiva, porque
A função
é inteira (holomorfa em todo
), logo
é primitiva válida ao longo de qualquer caminho.
Passo 9
Aplicar a primitiva aos extremos
e
:
Calculo
passo a passo:
Então
Passo 10
Comentário sobre a consistência:
- Os dois métodos deram o mesmo resultado
, como esperado. - Motivo conceitual:
é holomorfa em todo , portanto possui primitiva definida em todo o plano. Pelo teorema fundamental das integrais de linha para funções holomorfas, a integral ao longo de qualquer caminho que vá de a é exatamente . A parametrização direta é só uma verificação explícita que respeita essa propriedade. - Dica de prova/avaliação: quando a função tem primitiva, usar a primitiva torna o cálculo muito mais rápido; a parametrização é útil para entender o procedimento ou quando a primitiva não é conhecida ou não existe no domínio considerado.
Resposta
Usando a primitiva
: