Seja \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} dada por \gamma(t)=1+\mathrm{i} t (segmento vertical de 1 até 1+\mathrm{i} ). Calcule
\int_{\gamma} z^{2} d z
Depois, calcule a mesma integral usando a primitiva de z^{2} e comente a consistência.

Passo 1

O enunciado dá a curva \gamma:[0,1]\to\mathbb{C} definida por \gamma(t)=1+\mathrm{i}t, que é o segmento vertical que vai do ponto 1 até o ponto 1+\mathrm{i}. Pede-se:
  • Calcular \displaystyle \int_{\gamma} z^{2}\,dz.
  • Recalcular a mesma integral usando a primitiva de z^{2} e comentar a consistência entre os resultados.
Informações relevantes fornecidas:
  • A parametrização da curva é \gamma(t)=1+\mathrm{i}t para t\in[0,1].
  • Os pontos inicial e final são \gamma(0)=1 e \gamma(1)=1+\mathrm{i}.

Passo 2

Vou calcular a integral pela definição de integral de linha complexa, ou seja, parametrizando \gamma por t e substituindo z=\gamma(t) e dz=\gamma'(t)\,dt.
Regra prática que uso aqui (explicando devagar):
  • Se z(t) é uma parametrização do caminho, então
\int_{\gamma} f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(z(t))\,z'(t)\,dt.
Essa é a maneira direta de transformar a integral complexa numa integral de uma função complexa de uma variável real; integra-se componente real e imaginária normalmente.

Passo 3

Escrever z(t) e dz. Da parametrização:
z(t)=1+\mathrm{i}t,\qquad 0\le t\le1.
Derivando em relação a t:
z'(t)=\frac{d}{dt}(1+\mathrm{i}t)=\mathrm{i}.
Assim \,dz=\mathrm{i}\,dt.

Passo 4

Calcular z(t)^{2}. Faço a conta passo a passo:
z(t)^{2}=(1+\mathrm{i}t)^{2}=1+2\mathrm{i}t+(\mathrm{i}t)^{2}.
Como (\mathrm{i}t)^{2}=\mathrm{i}^{2}t^{2}=-t^{2}, segue
z(t)^{2}=1+2\mathrm{i}t-t^{2}.

Passo 5

Formar o integrando z(t)^{2}z'(t) e simplificar:
z(t)^{2}z'(t)=(1+2\mathrm{i}t-t^{2})\cdot\mathrm{i}.
Multiplicando termo a termo:
(1)\cdot\mathrm{i}=\mathrm{i},\qquad (2\mathrm{i}t)\cdot\mathrm{i}=2\mathrm{i}^{2}t=-2t,\qquad (-t^{2})\cdot\mathrm{i}=-\mathrm{i}t^{2}.
Portanto
z(t)^{2}z'(t) = -2t + \mathrm{i}(1-t^{2}).

Passo 6

Agora integro em t de 0 a 1:
\int_{\gamma} z^{2}\,dz = \int_{0}^{1}\bigl(-2t + \mathrm{i}(1-t^{2})\bigr)\,dt.
Integro as partes real e imaginária separadamente:
\int_{0}^{1} -2t\,dt = \bigl[-t^{2}\bigr]_{0}^{1} = -1,
\int_{0}^{1} \mathrm{i}(1-t^{2})\,dt = \mathrm{i}\left[\;t-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \mathrm{i}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\mathrm{i}\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\mathrm{i}.
Somando as duas partes:
\int_{\gamma} z^{2}\,dz = -1 + \frac{2}{3}\mathrm{i}.

Passo 7

Agora calculo a integral usando uma primitiva. Primeiro lembrar o conceito (explicando devagar):
  • Uma primitiva F de f é uma função tal que F'(z)=f(z).
  • Se f tem primitiva em um domínio que contém o caminho, então a integral de linha de f ao longo do caminho depende apenas dos extremos, e vale F(z_{\text{final}})-F(z_{\text{inicial}}). Isso é a versão complexa do teorema fundamental do cálculo (para integrais de linha de funções holomorfas).

Passo 8

Encontrar uma primitiva de f(z)=z^{2}. É óbvio por analogia com cálculo real que
F(z)=\frac{z^{3}}{3}
é uma primitiva, porque
F'(z)=\frac{d}{dz}\left(\frac{z^{3}}{3}\right)=z^{2}.
A função z^{2} é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}), logo F é primitiva válida ao longo de qualquer caminho.

Passo 9

Aplicar a primitiva aos extremos \gamma(0)=1 e \gamma(1)=1+\mathrm{i}:
\int_{\gamma} z^{2}\,dz = F(1+\mathrm{i})-F(1) = \frac{(1+\mathrm{i})^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}.
Calculo (1+\mathrm{i})^{3} passo a passo:
(1+\mathrm{i})^{2}=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2}=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i},
(1+\mathrm{i})^{3}=(1+\mathrm{i})\cdot(1+\mathrm{i})^{2}=(1+\mathrm{i})\cdot 2\mathrm{i}=2\mathrm{i}+2\mathrm{i}^{2}=2\mathrm{i}-2=-2+2\mathrm{i}.
Então
F(1+\mathrm{i})-F(1)=\frac{-2+2\mathrm{i}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{-3+2\mathrm{i}}{3}=-1+\frac{2}{3}\mathrm{i}.

Passo 10

Comentário sobre a consistência:
  • Os dois métodos deram o mesmo resultado -1+\tfrac{2}{3}\mathrm{i}, como esperado.
  • Motivo conceitual: z^{2} é holomorfa em todo \mathbb{C}, portanto possui primitiva F(z)=z^{3}/3 definida em todo o plano. Pelo teorema fundamental das integrais de linha para funções holomorfas, a integral ao longo de qualquer caminho que vá de 1 a 1+\mathrm{i} é exatamente F(1+\mathrm{i})-F(1). A parametrização direta é só uma verificação explícita que respeita essa propriedade.
  • Dica de prova/avaliação: quando a função tem primitiva, usar a primitiva torna o cálculo muito mais rápido; a parametrização é útil para entender o procedimento ou quando a primitiva não é conhecida ou não existe no domínio considerado.

Resposta

\displaystyle \int_{\gamma} z^{2}\,dz = -1 + \frac{2}{3}\mathrm{i}
Usando a primitiva F(z)=\dfrac{z^{3}}{3}: \displaystyle F(1+\mathrm{i})-F(1) = -1 + \frac{2}{3}\mathrm{i}

Exercícios relacionados