Você pediu: “Defina: movimento brawniano”. Vou entender que você quis dizer movimento Browniano (pequeno erro de digitação). O que se pede é uma definição clara e completa do objeto matemático chamado movimento Browniano, incluindo suas propriedades essenciais. Não foram dadas outras informações no enunciado.
Passo 2
Definição formal (enunciado principal). Um processo estocástico (B_t)_{t\ge 0} é chamado de movimento Browniano (ou processo de Wiener) se satisfaz as quatro propriedades seguintes:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad B_0=0\\ \text{(com probabilidade 1)},\\[4pt] &\text{(ii)}\quad \text{as trajetórias } t\mapsto B_t \text{ são quase certamente contínuas},\\[4pt] &\text{(iii)}\quad \text{incrementos são independentes: para }0\le t_0<t_1<\cdots<t_n,\\\ &\qquad B_{t_1}-B_{t_0},\,B_{t_2}-B_{t_1},\dots,B_{t_n}-B_{t_{n-1}}\\ \text{são independentes},\\[4pt] &\text{(iv)}\quad \text{incrementos são gaussianos estacionários com média zero: para }0\le s<t,\\\ &\qquad B_t-B_s\sim N\big(0,\;t-s\big). \end{aligned}]
Passo 3
Expliquei cada item, devagar e com jeitinho:
Na fórmula (B_t)_{t\ge0} cada B_t é uma variável aleatória; o índice t representa o “tempo”.
\,B_0=0 significa que o processo começa em zero.
“Trajetórias contínuas” quer dizer que, para quase todo resultado aleatório, o gráfico t\mapsto B_t(\omega) não tem saltos — você pode desenhá-lo sem levantar a caneta.
“Incrementos independentes” é a propriedade que permite analisar blocos de tempo separados de forma isolada: o que ocorreu entre t_0 e t_1 não afeta estatisticamente o que ocorrerá entre t_1 e t_2.
A distribuição N(0,t-s) diz que o incremento em um intervalo de comprimento t-s é gaussiano com média zero e variância t-s. A palavra “estacionários” aqui refere-se ao fato da distribuição depender apenas do comprimento do intervalo, não do tempo inicial.
Passo 4
Consequências imediatas e fórmulas úteis (mostro como obter e usar):
Esperança: para todo t,
E[B_t]=0.
Variância: para todo t,
\operatorname{Var}(B_t)=t,
porque B_t-B_0\sim N(0,t).
Covariância: para s,t\ge0,
\operatorname{Cov}(B_s,B_t)=\min(s,t).
Demonstração rápida: suponha s\le t. Escreva B_t=B_s+(B_t-B_s) e use independência entre B_s e B_t-B_s e média zero do incremento para obter
Propriedades estocásticas importantes e como usá-las na prova:
Propriedade de Markov: conhecendo B_s para algum s, o futuro (B_{s+t}-B_s)_{t\ge0} é independente do passado anterior a s. Na prática: condicionamentos simplificam muito.
Martingale: (B_t)_{t\ge0} é um martingale relativo à sua filtragem natural, isto é, para t\ge s,
E\big[B_t\mid\mathcal{F}_s\big]=B_s.
Isto vem direto da média zero dos incrementos independentes.
Outra martingale útil: \big(B_t^2 - t\big)_{t\ge0} também é martingale. Verificação rápida: usar E[B_t^2\mid\mathcal{F}_s]=B_s^2+(t-s).
Passo 6
Propriedades das trajetórias (intuitivas e úteis em provas):
Não-diferenciabilidade: quase certamente as trajetórias não são diferenciáveis em nenhum ponto. Ou seja, não existe B'_t finito para quase todo t. Isso é um fato teórico importante: apesar de contínuo, é muito “rugoso”.
Variância quadrática (quadratic variation): para uma malha de particionamento 0=t_0<t_1<\dots<t_n=t com passo máximo indo para zero,
\sum_{k=1}^n (B_{t_k}-B_{t_{k-1}})^2 \xrightarrow{a.s.} t.
Na prática: a variação quadrática acumulada até o tempo t é t. Isso é crucial em cálculo estocástico (Itô).
Passo 7
Escalas e simetrias úteis em exercícios:
Auto-similaridade (escala): para c>0,
\bigl(c^{-1/2}B_{ct}\bigr)_{t\ge0}
é novamente um movimento Browniano. Em palavras: acelerar o tempo por c e dividir o espaço por \sqrt{c} deixa o processo inalterado em distribuição.
Simetria: B_t tem distribuição simétrica em torno de zero: B_t\overset{d}{=}-B_t. Logo P(B_t>0)=1/2 para t>0.
Passo 8
Construições (idéias para provar existência ou usar em exercícios):
Como limite de passeio aleatório (Donsker): uma soma de passos iid com escala apropriada converge em distribuição ao Brownian motion. Este é o caminho clássico e intuitivo: o Browniano é limite de um “passeio aleatório fino”.
Como integral estocástica: B_t pode ser visto como uma integral em relação a uma medida de Wiener; formalmente se constrói a partir de uma medida gaussiana em espaços de funções contínuas (construção de Wiener).
Passo 9
Exemplos rápidos que caem em prova e como calcular:
Distribuição de incremento: Para exemplo concreto,
Usando martingale: para calcular E[B_t\mid B_s=x] com t\ge s, resposta direta é x.
Passo 10
Dicas para a prova (amigo que torce por você):
Sempre comece verificando as hipóteses: independent increments + distribuição gaussiana + continuidade. Se o enunciado dá incrementos, use a propriedade gaussiana para transformar tudo em problemas com normais.
Use a covariância \min(s,t) quando aparecer E[B_s B_t].
Lembre-se: muitas questões pedem apenas usar que B_t-B_s\sim N(0,t-s) e independência, então isso resolve muita coisa rapidamente.
Força! Se bater aquele desespero, lembre: pense em incrementos independentes, normalidade e continuidade; com isso você tira a maior parte das questões de Browniano.
Resposta
Um processo estocástico (B_t)_{t\ge 0} é chamado de movimento Browniano (ou processo de Wiener) se satisfaz:
\begin{aligned} & B_0=0\\ \text{a.s.},\\[4pt] & \text{as trajetórias }t\mapsto B_t\text{ são contínuas quase certamente},\\[4pt] & \text{os incrementos são independentes, e para }0\le s<t\text{ temos}\\[4pt] & B_t-B_s\sim N\big(0,\;t-s\big)\\ (\text{i.e. incrementos gaussianos, de média }0\text{ e variância }t-s). \end{aligned}óãíãéâ]