Defina:
soluções concentradas;

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o que são “soluções concentradas”.
Informações dadas (explicitadas): tenho apenas a expressão a ser definida — “soluções concentradas” — sem contexto adicional. Vou então dar uma definição clara, algumas formulações equivalentes (medida, L^p, perfil rescalado) e exemplos simples que ajudam a entender como verificar que uma família de funções realmente “concentra”. Não vou assumir que você já sabe nada sobre convergência de medidas ou perfis rescalados — vou explicar passo a passo.

Passo 2

Intuição básica (sem fórmulas ainda): imagine uma família de “picos” cada vez mais finos e altos, que mantém a mesma área total sob a curva, e cujo pico vai se aproximando de um ponto fixo x_0. Quando o parâmetro \varepsilon vai a zero, toda a massa da função fica cada vez mais focada perto de x_0. Essa é a ideia de concentração: a massa (ou energia) não se espalha, ela se reúne (concentra) em um lugar pequeno.

Passo 3

Um exemplo concreto e computável (Gaussianas): considere, em \mathbb{R}^n,
u_\varepsilon(x)=\frac{1}{(2\pi\varepsilon^2)^{n/2}}e^{-\frac{|x|^2}{2\varepsilon^2}}.
Essa família tem massa total igual a 1 para todo \varepsilon>0. Façamos a mudança de variável y=x/\varepsilon para ver a concentração em 0:
\int_{B(0,\delta)} u_\varepsilon(x)\,dx =\int_{B(0,\delta/\varepsilon)}\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}e^{-|y|^2/2}\,dy.
Para qualquer \delta>0, quando \varepsilon\to0 a bola B(0,\delta/\varepsilon) tende a \mathbb{R}^n, portanto
\lim_{\varepsilon\to0}\int_{B(0,\delta)} u_\varepsilon(x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^n}\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}e^{-|y|^2/2}\,dy = 1.
Isso mostra que toda a massa fica dentro de qualquer bola arbitrariamente pequena centrada em 0 quando \varepsilon é pequeno — exemplo clássico de concentração em x_0=0.

Passo 4

Definição medida-teórica (forma padrão e útil): seja (u_\varepsilon)_{\varepsilon>0} uma família de funções não-negativas em \mathbb{R}^n com massa total fixada
M=\int_{\mathbb{R}^n} u_\varepsilon(x)\,dx\quad\text{(independente de \(\varepsilon\))}.
Dizemos que u_\varepsilon concentra em x_0\in\mathbb{R}^n quando, para todo \delta>0,
\lim_{\varepsilon\to0}\int_{B(x_0,\delta)} u_\varepsilon(x)\,dx = M.
Em linguagem de medidas, isso equivale a dizer que as medidas u_\varepsilon(x)\,dx convergem fracas como medidas para M\delta_{x_0}, onde \delta_{x_0} é a massa de Dirac em x_0:
u_\varepsilon(x)\,dx \rightharpoonup M\,\delta_{x_0}.
Essa é a definição mais direta e verificável em muitas provas e exames.

Passo 5

Variações da definição (quando é importante no estudo de PDEs e semiclássico):
  • Concentração em L^p: às vezes trabalhamos com sequências em L^p e dizemos que há concentração se a norma em conjuntos pequenos tende a quase toda a norma total; por exemplo, para p\ge1,
\lim_{\varepsilon\to0}\int_{B(x_0,\delta)} |u_\varepsilon(x)|^p\,dx = \|u_\varepsilon\|_{L^p}^p.
  • Perfil rescalado (no estudo de “spikes” em equações elípticas): diz-se que u_\varepsilon forma um pico com perfil U quando existem pontos x_\varepsilon\to x_0 e uma função de perfil U tal que
u_\varepsilon(x)\approx U\!\left(\frac{x-x_\varepsilon}{\varepsilon}\right),
ou seja, a função, ao ser reposicionada e reescalada, converge em espaços adequados para um perfil não-trivial U (normalmente solução de um problema limite em \mathbb{R}^n). Esse é o tipo de concentração mais usado em problemas variacionais/semiclassicos.

Passo 6

Como verificar concentração numa prova (passo a passo prático):
  1. Mostre que a massa total (ou energia) é limitada e idealmente constante: calcule M=\int u_\varepsilon.
  2. Fixe \delta>0 e estime \int_{B(x_0,\delta)} u_\varepsilon usando uma mudança de variável ou desigualdades (por exemplo, para funções gaussianas usar y=x/\varepsilon).
  3. Prove que o complemento tende a zero:
\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\mathbb{R}^n\setminus B(x_0,\delta)} u_\varepsilon(x)\,dx = 0.
  1. Conclua que a integral na bola tende a M. Alternativamente, trabalhe com convergência de medidas: mostre que para qualquer função teste \varphi\in C_c(\mathbb{R}^n),
\lim_{\varepsilon\to0}\int_{\mathbb{R}^n} u_\varepsilon(x)\varphi(x)\,dx = M\varphi(x_0).

Passo 7

Relação com o princípio de concentração-compacidade (breve explicação didática): quando uma sequência em espaços funcionais não tem convergência forte, três fenômenos podem ocorrer — compactação (convergência forte), espalhamento/vanishing (massa vai para o infinito e some localmente), ou concentração (massa se acumula em pontos). Saber identificar concentração é chave para lidar com problemas de perda de compactidade. Na prova, quando aparecer sequência que “não converge”, pense nesses três casos e tente mostrar concentração se for o caso.

Passo 8

Exemplo rápido de equação (sem provar solução): em problemas semiclassicos do tipo
-\varepsilon^2\Delta u + V(x)u = f(u),
é comum que existam soluções u_\varepsilon que se concentram em pontos minimizadores de V. O que você faz na prova é: localizar pontos candidatos x_0, mostrar que a massa/energia fica dentro de bolas B(x_0,\delta) quando \varepsilon é pequeno, e depois mostrar que o perfil reescalado converge para uma solução limite U em \mathbb{R}^n.

Passo 9

Resumo prático (para memorização antes da prova): concentração = massa/energia que, ao enviar \varepsilon\to0, fica toda dentro de qualquer bola pequena centrada num ponto x_0. Uma forma técnica: u_\varepsilon\,dx \rightharpoonup M\delta_{x_0}. Para verificar: mostre que integral fora da bola tende a zero ou que medidas agem nas funções teste como M\varphi(x_0).

Resposta

Soluções concentradas: uma família (u_\varepsilon)_{\varepsilon>0} de funções não-negativas em \mathbb{R}^n com massa total M=\int_{\mathbb{R}^n}u_\varepsilon (independente de \varepsilon) é dita concentrar em x_0\in\mathbb{R}^n se, para todo \delta>0,
\lim_{\varepsilon\to0}\int_{B(x_0,\delta)} u_\varepsilon(x)\,dx = M,
equivalentemente, se as medidas u_\varepsilon(x)\,dx convergem fracas para M\delta_{x_0}. Outra formulação comum (em PDEs semiclassicas) é que existem pontos x_\varepsilon\to x_0 e um perfil U tal que
u_\varepsilon(x)\approx U\!\left(\frac{x-x_\varepsilon}{\varepsilon}\right),
ou seja, a solução forma um “pico” de largura O(\varepsilon) centrado em x_0.

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