Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos:
(b) Planos perpendiculares;
(b) Planos perpendiculares;
Passo 1
O que o enunciado pede (apenas o item (b)):
- Definir o objeto “planos perpendiculares”.
- Para essa definição: listar todos os conceitos que ela usa e que devem ser conhecidos antes (conceitos previamente necessários).
- Entre esses conceitos previamente necessários, indicar quais são os conceitos primitivos (isto é, os que não serão definidos a partir de outros).
Informações dadas: somente o pedido acima para “planos perpendiculares”.
Passo 2
O que são “conceitos primitivos” e por que precisamos identificá‑los.
- Um conceito primitivo (ou indefinido) é uma noção tomada como básica na construção axiomática da geometria: não se dá uma definição formal, apenas se aceita sua existência e propriedades via axiomas. Exemplos usuais são “ponto”, “reta” e “plano”.
- Identificar primitivas é importante porque toda definição posterior deve usar apenas conceitos já conhecidos; não faz sentido definir algo usando termos que, por sua vez, precisam ser definidos de forma circular.
Passo 3
Apresentação intuitiva (antes da definição técnica): ideia geométrica de planos perpendiculares.
- Intuição: dois planos são perpendiculares quando se cruzam formando um tipo de “ângulo reto” entre eles, semelhante a como duas retas perpendiculares formam um ângulo de
. Visualmente pense numa parede e no chão: são planos diferentes que se encontram formando um canto reto.
Passo 4
Listagem e explicação dos conceitos que normalmente aparecem na definição de “planos perpendiculares”.
Vou listar os conceitos usados e explicar cada um de forma simples (mais abaixo direi quais são primitivos).
Vou listar os conceitos usados e explicar cada um de forma simples (mais abaixo direi quais são primitivos).
- Ponto. Intuição: localidade sem dimensão.
- Reta (ou linha). Intuição: conjunto de pontos numa direção, sem espessura e sem fim.
- Plano. Intuição: superfície plana infinita, com duas dimensões.
- Incidência / pertença: relação "o ponto
pertence à reta " escrita , ou "reta pertence ao plano " escrita . - Interseção de conjuntos (linhas, planos): o conjunto de pontos comuns. Por exemplo, a interseção de dois planos que não são paralelos é uma reta.
- Retas concorrentes (que se cruzam) e retas contidas num plano.
- Ângulo entre duas retas (no mesmo plano), e ângulo reto: duas retas que se cruzam formam um ângulo; dizemos que são perpendiculares se esse ângulo é reto (intuindo
). - Retas perpendiculares: duas retas que se encontram e formam um ângulo reto. Notação:
. - Reta perpendicular a um plano: uma reta
é perpendicular ao plano no ponto (onde intersectam) se intersecta em e é perpendicular a toda reta de que passe por . Notação: (em ). - Planos perpendiculares: a definição final é dada em termos de reta perpendicular a um plano (veja passo seguinte).
Passo 5
Definição rigorosa (geométrica/sintética) de “reta perpendicular a um plano”.
- Definição. Seja
um plano e uma reta; seja o ponto de interseção . Dizemos que é perpendicular ao plano em — e escrevemos (em ) — se, para toda reta contida em que passe por , tem‑se . - Explicação didática: a reta
é perpendicular ao plano se, no ponto onde cortam, ela faz ângulo reto com qualquer direção possível dentro do plano . Um trecho prático: se é perpendicular a duas retas distintas de que se cruzam em , então é perpendicular a todo o plano (esta é uma propriedade útil e frequentemente usada em provas).
Passo 6
Definição final: planos perpendiculares (forma sintética)
- Definição. Dois planos
e são perpendiculares — escrevemos — se e somente se eles se intersectam em alguma reta e, além disso, existe uma reta tal que é perpendicular ao plano (equivalentemente: existe uma reta que é perpendicular ao plano ). Em palavras: dois planos são perpendiculares quando um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro plano. - Observação prática: a condição de interseção é necessária — planos paralelos (sem interseção) não são considerados perpendiculares. Quando
e se cruzam, a reta é a linha de interseção; frequentemente se verifica a perpendicularidade encontrando uma reta em que corte e seja perpendicular a duas retas do plano que se cruzem no ponto de interseção.
Passo 7
Equivalência analítica (método alternativo útil em provas com coordenadas)
- Em geometria analítica, um plano
pode ser escrito como e outro . - Os vetores normais são
e . - Critério:
se e somente se , isto é, se o produto escalar . - Explicação: o vetor normal aponta na direção perpendicular ao plano; assim, se os normais são ortogonais, os planos formam um “ângulo reto” entre si. Este critério exige conhecimentos prévios de vetores e produto escalar (veja identificação dos conceitos usados).
Passo 8
Resumo dos conceitos usados na definição (recapitulando) e quais são primitivos
- Conceitos usados na definição de “planos perpendiculares”:
- Ponto.
- Reta.
- Plano.
- Relação de pertença/incidência (ex.:
, ). - Interseção de planos (uma reta, quando não paralelos).
- Retas concorrentes (que se cruzam).
- Ângulo entre retas e ângulo reto.
- Retas perpendiculares.
- Reta perpendicular a um plano.
- (Opcional/analítico) Vetor normal a um plano e produto escalar.
- Dentre esses, os conceitos usualmente tratados como primitivos (ou quase primitivos) na construção axiomática da geometria euclidiana são:
- Ponto, reta e plano (conceitos primitivos).
- A relação de incidência (o verbo “pertence”:
, ) também é tomada como primitiva na maioria dos axiomatismos, pois dá sentido à colocação dos pontos nas retas/planos.
- Os demais conceitos (ângulo, reta perpendicular, interseção como operação de conjuntos, vetor normal, produto escalar) são definidos a partir dos primitivos e de axiomas adicionais (por exemplo, axiomas de congruência, axiomas métricos ou a estrutura de
para a versão analítica).
Passo 9
Como aplicar essa definição em uma prova — receita prática passo a passo
- Verifique se os planos
e se intersectam; se forem paralelos, a resposta é “não são perpendiculares”. - Encontre (ou tente construir) uma reta
que corte em . - Prove que
é perpendicular a duas (ou suficientemente muitas) retas de que se cruzam em . Se for perpendicular a duas retas concorrentes de , então . - Conclua
pelo critério sintético dado. - (Se estiver usando coordenadas) obtenha os vetores normais
dos planos e verifique .
Passo 10
Exemplo rápido (sem cálculo pesado) para fixar a ideia
- Considere o plano
(o plano ) e o plano (o plano ) no espaço . - A interseção é a reta
-axis (reta ). - Uma reta no plano
perpendicular ao plano é, por exemplo, a reta -axis? Melhor: o vetor normal do plano é e do plano é ; temos . Logo, por critério analítico, os planos são perpendiculares. Intuitivamente: chão ( ) ⟂ parede ( ).
Resposta
Dois planos
e
são perpendiculares (
) quando eles se intersectam e um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro plano; equivalentemente, existe uma reta
tal que
.
Conceitos usados previamente: ponto; reta; plano; relação de pertença/incidência; interseção de planos; ângulo entre retas e ângulo reto; retas perpendiculares; reta perpendicular a um plano; (opcional) vetor normal e produto escalar.
Conceitos primitivos (os que usualmente não se definem a partir de outros): ponto, reta, plano e a relação de incidência (“pertence”, ,
).
Conceitos usados previamente: ponto; reta; plano; relação de pertença/incidência; interseção de planos; ângulo entre retas e ângulo reto; retas perpendiculares; reta perpendicular a um plano; (opcional) vetor normal e produto escalar.
Conceitos primitivos (os que usualmente não se definem a partir de outros): ponto, reta, plano e a relação de incidência (“pertence”,