Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos:
(b) Planos perpendiculares;

Passo 1

O que o enunciado pede (apenas o item (b)):
  • Definir o objeto “planos perpendiculares”.
  • Para essa definição: listar todos os conceitos que ela usa e que devem ser conhecidos antes (conceitos previamente necessários).
  • Entre esses conceitos previamente necessários, indicar quais são os conceitos primitivos (isto é, os que não serão definidos a partir de outros).
Informações dadas: somente o pedido acima para “planos perpendiculares”.

Passo 2

O que são “conceitos primitivos” e por que precisamos identificá‑los.
  • Um conceito primitivo (ou indefinido) é uma noção tomada como básica na construção axiomática da geometria: não se dá uma definição formal, apenas se aceita sua existência e propriedades via axiomas. Exemplos usuais são “ponto”, “reta” e “plano”.
  • Identificar primitivas é importante porque toda definição posterior deve usar apenas conceitos já conhecidos; não faz sentido definir algo usando termos que, por sua vez, precisam ser definidos de forma circular.

Passo 3

Apresentação intuitiva (antes da definição técnica): ideia geométrica de planos perpendiculares.
  • Intuição: dois planos são perpendiculares quando se cruzam formando um tipo de “ângulo reto” entre eles, semelhante a como duas retas perpendiculares formam um ângulo de 90^\circ. Visualmente pense numa parede e no chão: são planos diferentes que se encontram formando um canto reto.

Passo 4

Listagem e explicação dos conceitos que normalmente aparecem na definição de “planos perpendiculares”.
Vou listar os conceitos usados e explicar cada um de forma simples (mais abaixo direi quais são primitivos).
  1. Ponto. Intuição: localidade sem dimensão.
  2. Reta (ou linha). Intuição: conjunto de pontos numa direção, sem espessura e sem fim.
  3. Plano. Intuição: superfície plana infinita, com duas dimensões.
  4. Incidência / pertença: relação "o ponto P pertence à reta r" escrita P\in r, ou "reta r pertence ao plano \alpha" escrita r\subset\alpha.
  5. Interseção de conjuntos (linhas, planos): o conjunto de pontos comuns. Por exemplo, a interseção de dois planos que não são paralelos é uma reta.
  6. Retas concorrentes (que se cruzam) e retas contidas num plano.
  7. Ângulo entre duas retas (no mesmo plano), e ângulo reto: duas retas que se cruzam formam um ângulo; dizemos que são perpendiculares se esse ângulo é reto (intuindo 90^\circ).
  8. Retas perpendiculares: duas retas que se encontram e formam um ângulo reto. Notação: r\perp s.
  9. Reta perpendicular a um plano: uma reta l é perpendicular ao plano \alpha no ponto P (onde intersectam) se l intersecta \alpha em P e l é perpendicular a toda reta de \alpha que passe por P. Notação: l\perp\alpha (em P).
  10. Planos perpendiculares: a definição final é dada em termos de reta perpendicular a um plano (veja passo seguinte).

Passo 5

Definição rigorosa (geométrica/sintética) de “reta perpendicular a um plano”.
  • Definição. Seja \alpha um plano e l uma reta; seja P o ponto de interseção P\in l\cap\alpha. Dizemos que l é perpendicular ao plano \alpha em P — e escrevemos l\perp\alpha (em P) — se, para toda reta m contida em \alpha que passe por P, tem‑se l\perp m.
  • Explicação didática: a reta l é perpendicular ao plano \alpha se, no ponto onde cortam, ela faz ângulo reto com qualquer direção possível dentro do plano \alpha. Um trecho prático: se l é perpendicular a duas retas distintas m_1,m_2 de \alpha que se cruzam em P, então l é perpendicular a todo o plano \alpha (esta é uma propriedade útil e frequentemente usada em provas).

Passo 6

Definição final: planos perpendiculares (forma sintética)
  • Definição. Dois planos \alpha e \beta são perpendiculares — escrevemos \alpha\perp\beta — se e somente se eles se intersectam em alguma reta r e, além disso, existe uma reta l\subset\alpha tal que l é perpendicular ao plano \beta (equivalentemente: existe uma reta s\subset\beta que é perpendicular ao plano \alpha). Em palavras: dois planos são perpendiculares quando um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro plano.
  • Observação prática: a condição de interseção é necessária — planos paralelos (sem interseção) não são considerados perpendiculares. Quando \alpha e \beta se cruzam, a reta r=\alpha\cap\beta é a linha de interseção; frequentemente se verifica a perpendicularidade encontrando uma reta em \alpha que corte \beta e seja perpendicular a duas retas do plano \beta que se cruzem no ponto de interseção.

Passo 7

Equivalência analítica (método alternativo útil em provas com coordenadas)
  • Em geometria analítica, um plano \alpha pode ser escrito como \alpha:\,a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0 e outro \beta:\,a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0.
  • Os vetores normais são n_1=(a_1,b_1,c_1) e n_2=(a_2,b_2,c_2).
  • Critério: \alpha\perp\beta se e somente se n_1\cdot n_2=0, isto é, se o produto escalar \,a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0.
  • Explicação: o vetor normal aponta na direção perpendicular ao plano; assim, se os normais são ortogonais, os planos formam um “ângulo reto” entre si. Este critério exige conhecimentos prévios de vetores e produto escalar (veja identificação dos conceitos usados).

Passo 8

Resumo dos conceitos usados na definição (recapitulando) e quais são primitivos
  • Conceitos usados na definição de “planos perpendiculares”:
    1. Ponto.
    2. Reta.
    3. Plano.
    4. Relação de pertença/incidência (ex.: P\in r, r\subset\alpha).
    5. Interseção de planos (uma reta, quando não paralelos).
    6. Retas concorrentes (que se cruzam).
    7. Ângulo entre retas e ângulo reto.
    8. Retas perpendiculares.
    9. Reta perpendicular a um plano.
    10. (Opcional/analítico) Vetor normal a um plano e produto escalar.
  • Dentre esses, os conceitos usualmente tratados como primitivos (ou quase primitivos) na construção axiomática da geometria euclidiana são:
    • Ponto, reta e plano (conceitos primitivos).
    • A relação de incidência (o verbo “pertence”: P\in r, r\subset\alpha) também é tomada como primitiva na maioria dos axiomatismos, pois dá sentido à colocação dos pontos nas retas/planos.
  • Os demais conceitos (ângulo, reta perpendicular, interseção como operação de conjuntos, vetor normal, produto escalar) são definidos a partir dos primitivos e de axiomas adicionais (por exemplo, axiomas de congruência, axiomas métricos ou a estrutura de \mathbb{R}^3 para a versão analítica).

Passo 9

Como aplicar essa definição em uma prova — receita prática passo a passo
  1. Verifique se os planos \alpha e \beta se intersectam; se forem paralelos, a resposta é “não são perpendiculares”.
  2. Encontre (ou tente construir) uma reta l\subset\alpha que corte \beta em P.
  3. Prove que l é perpendicular a duas (ou suficientemente muitas) retas de \beta que se cruzam em P. Se l for perpendicular a duas retas concorrentes de \beta, então l\perp\beta.
  4. Conclua \alpha\perp\beta pelo critério sintético dado.
  5. (Se estiver usando coordenadas) obtenha os vetores normais n_1,n_2 dos planos e verifique n_1\cdot n_2=0.

Passo 10

Exemplo rápido (sem cálculo pesado) para fixar a ideia
  • Considere o plano xy (o plano z=0) e o plano xz (o plano y=0) no espaço \mathbb{R}^3.
  • A interseção é a reta x-axis (reta y=0,z=0).
  • Uma reta no plano xy perpendicular ao plano xz é, por exemplo, a reta x=0,z-axis? Melhor: o vetor normal do plano xy é n_1=(0,0,1) e do plano xz é n_2=(0,1,0); temos n_1\cdot n_2=0. Logo, por critério analítico, os planos são perpendiculares. Intuitivamente: chão ( xy) ⟂ parede ( xz).

Resposta

Dois planos \alpha e \beta são perpendiculares ( \alpha\perp\beta) quando eles se intersectam e um deles contém uma reta que é perpendicular ao outro plano; equivalentemente, existe uma reta l\subset\alpha tal que l\perp\beta.
Conceitos usados previamente: ponto; reta; plano; relação de pertença/incidência; interseção de planos; ângulo entre retas e ângulo reto; retas perpendiculares; reta perpendicular a um plano; (opcional) vetor normal e produto escalar.
Conceitos primitivos (os que usualmente não se definem a partir de outros): ponto, reta, plano e a relação de incidência (“pertence”, P\in r, r\subset\alpha).

Exercícios relacionados