Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos:
(e) Números compostos.

Passo 1

O enunciado pede: “Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos.” Aqui, o item (e) é “Números compostos”. Logo preciso:
  • Fornecer uma definição clara e formal de “número composto”.
  • Listar os conceitos que a definição utiliza e que deveriam ser conhecidos antes.
  • Entre esses conceitos, indicar quais são os conceitos primitivos (isto é, os que não são definidos a partir de outros, servindo de base).
Informações dadas: apenas o termo a ser definido: “Números compostos”. Não há outras hipóteses numéricas ou imagens.

Passo 2

Definição formal (forma que vou justificar depois): um número natural n é composto quando n>1 e existe um inteiro natural d tal que 1<d<n e d divide n (isto é, existe k\in\mathbb{N} tal que n=d\cdot k).
Vou agora explicar cada parte dessa definição, porque ela usa conceitos que precisam estar claros.

Passo 3

Explicando passo a passo os conceitos dentro da definição
  • "Número natural n" — aqui estamos usando o conjunto dos números naturais, normalmente denotado por \mathbb{N}. Em muitas convenções \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\} ou \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}; na definição de composto é importante que esteja claro que tratamos de números inteiros não negativos e que o sentido de “maior que” e de multiplicação são definidos.
  • Condição n>1 — queremos excluir 0 e 1, porque 1 tem apenas o divisor trivial 1 e não se considera nem primo nem composto. O símbolo “ >” é a relação de ordem nos naturais.
  • "Existe um inteiro natural d tal que 1<d<n" — isto diz que procuramos um divisor diferente de 1 e diferente de n (um divisor próprio). A palavra “existe” é o quantificador existencial: \exists d\in\mathbb{N} com a propriedade.
  • " d divide n" — formalmente: d divide n significa que existe k\in\mathbb{N} tal que n=d\cdot k. Aqui aparece a operação de multiplicação \cdot e a igualdade =.

Passo 4

Definição do conceito “divisor” usado na definição
  • Definição de divisor: dizemos que d é um divisor de n (escreve-se d\mid n) se e somente se existe k\in\mathbb{N} tal que n=d\cdot k.
  • Observações práticas: quando d\mid n e 1<d<n, chamamos d de divisor próprio de n. A existência de um divisor próprio é exatamente o que torna n composto.

Passo 5

Lista dos conceitos previamente necessários para entender a definição (com explicação breve de cada)
  • O conjunto dos números naturais \mathbb{N}. (o universo onde trabalhamos)
  • O número 1 como elemento de \mathbb{N}. (referência para “trivial”)
  • A relação de ordem > sobre \mathbb{N} (para usar n>1, 1<d<n).
  • A operação de multiplicação \cdot em \mathbb{N} (para escrever n=d\cdot k).
  • A igualdade = (para falar de igualdade entre números).
  • O quantificador existencial \exists e a noção de variável livre/ligada (para formular “existe d tal que …”).
  • A noção de “divide” ou a definição equivalente via multiplicação (isto é, d\mid n \iff \exists k\in\mathbb{N} : n=d\cdot k).

Passo 6

Identificação dos conceitos primitivos entre os anteriores (e por quê)
  • Conceitos primitivos típicos aqui (não definidos a partir de outros, usados como base):
    • O conjunto dos números naturais \mathbb{N} (ou, em uma abordagem axiomática, os objetos básicos fornecidos pelos axiomas de Peano, como 0 e a função sucessor). Sem um universo de números, não há definição.
    • A operação de multiplicação \cdot (em axiomática costuma-se ter adição e multiplicação como operações fundamentais definidas por axiomas).
    • A igualdade = (noções lógicas/equacionais básicas).
    • A relação de ordem > pode ser tratada como primitiva ou ser definida a partir de adição; em muitos cursos consideram a ordem uma relação primitiva nos naturais.
    • O número 1 (às vezes definido como sucessor de 0, mas frequentemente tratado como símbolo básico para o elemento multiplicativo neutro).
    • Noções lógicas básicas: quantificadores ( \exists, \forall), conectivos, variável, existência — essas são primitivas da lógica usada na definição.
Explicação: chamar de “primitivo” significa que o conceito não é definido por outros conceitos no desenvolvimento base que se assume; por exemplo, “multiplicação” é postulado com suas propriedades (associatividade, comutatividade, etc.) ou construída a partir da adição, dependendo do nível. Para um estudante, é prático considerar \mathbb{N}, 1, multiplicação e igualdade como conceitos de base que já conhece e usa.

Passo 7

Exemplos práticos (como aplicar a definição na prova)
  • Verificar que 12 é composto: mostrar um divisor próprio.
    • Observe 12 = 3 \cdot 4. Escrevendo em TeX: 12=3\cdot 4.
    • Aqui 3\in\mathbb{N}, 1<3<12 e existe k=4\in\mathbb{N} tal que 12=3\cdot 4. Logo existe divisor próprio 3, então 12 é composto.
  • Verificar que 7 não é composto (é primo): procurar divisores próprios.
    • Os candidatos d com 1<d<7 são 2,3,4,5,6.
    • Nenhum deles satisfaz 7=d\cdot k com k\in\mathbb{N}. Logo não existe divisor próprio; portanto 7 não é composto.
Dica prática para prova: para mostrar que um n é composto, basta encontrar um divisor próprio d e escrever n=d\cdot k. Para mostrar que n é primo (não composto), é preciso argumentar que não existe divisor próprio — normalmente testando divisores até \sqrt{n}.

Passo 8

Forma alternativa e equivalência com primos
  • Alternativa equivalente: uma outra formulação comum é: “Um número natural n>1 é composto se não for primo.” E a definição de primo é: n>1 é primo se os únicos divisores positivos de n são 1 e n.
  • Essas formulações são equivalentes porque o universo dos naturais >1 se divide em números primos e compostos (com a ressalva de que 1 é nem primo nem composto).

Passo 9

Resumo pedagógico e dica de memorização
  • Memorize: “composto = tem um fator não-trivial” — em símbolos: n composto \iff \exists d\in\mathbb{N} tal que 1<d<n e d\mid n.
  • Para a prova: quando pedirem para definir, escreva a definição com quantificadores e explique rapidamente o que é “divisor”. Ao testar um número, mostre explicitamente a fatoração que dá o divisor próprio.

Resposta

Um número natural n é composto se n>1 e existe d\in\mathbb{N} tal que 1<d<n e d\mid n (isto é, existe k\in\mathbb{N} com n=d\cdot k).

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