Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos:
(e) Números compostos.
(e) Números compostos.
Passo 1
O enunciado pede: “Defina os objetos abaixo e, em cada definição, identifique os conceitos usados que são previamente necessários; dentre estes conceitos, identifique os conceitos primitivos.” Aqui, o item (e) é “Números compostos”. Logo preciso:
- Fornecer uma definição clara e formal de “número composto”.
- Listar os conceitos que a definição utiliza e que deveriam ser conhecidos antes.
- Entre esses conceitos, indicar quais são os conceitos primitivos (isto é, os que não são definidos a partir de outros, servindo de base).
Informações dadas: apenas o termo a ser definido: “Números compostos”. Não há outras hipóteses numéricas ou imagens.
Passo 2
Definição formal (forma que vou justificar depois): um número natural
é composto quando
e existe um inteiro natural
tal que
e
divide
(isto é, existe
tal que
).
Vou agora explicar cada parte dessa definição, porque ela usa conceitos que precisam estar claros.
Passo 3
Explicando passo a passo os conceitos dentro da definição
-
"Número natural
" — aqui estamos usando o conjunto dos números naturais, normalmente denotado por . Em muitas convenções ou ; na definição de composto é importante que esteja claro que tratamos de números inteiros não negativos e que o sentido de “maior que” e de multiplicação são definidos. -
Condição
— queremos excluir e , porque tem apenas o divisor trivial e não se considera nem primo nem composto. O símbolo “ ” é a relação de ordem nos naturais. -
"Existe um inteiro natural
tal que " — isto diz que procuramos um divisor diferente de e diferente de (um divisor próprio). A palavra “existe” é o quantificador existencial: com a propriedade. -
"
divide " — formalmente: divide significa que existe tal que . Aqui aparece a operação de multiplicação e a igualdade .
Passo 4
Definição do conceito “divisor” usado na definição
-
Definição de divisor: dizemos que
é um divisor de (escreve-se ) se e somente se existe tal que . -
Observações práticas: quando
e , chamamos de divisor próprio de . A existência de um divisor próprio é exatamente o que torna composto.
Passo 5
Lista dos conceitos previamente necessários para entender a definição (com explicação breve de cada)
- O conjunto dos números naturais
. (o universo onde trabalhamos) - O número
como elemento de . (referência para “trivial”) - A relação de ordem
sobre (para usar , ). - A operação de multiplicação
em (para escrever ). - A igualdade
(para falar de igualdade entre números). - O quantificador existencial
e a noção de variável livre/ligada (para formular “existe tal que …”). - A noção de “divide” ou a definição equivalente via multiplicação (isto é,
).
Passo 6
Identificação dos conceitos primitivos entre os anteriores (e por quê)
- Conceitos primitivos típicos aqui (não definidos a partir de outros, usados como base):
- O conjunto dos números naturais
(ou, em uma abordagem axiomática, os objetos básicos fornecidos pelos axiomas de Peano, como e a função sucessor). Sem um universo de números, não há definição. - A operação de multiplicação
(em axiomática costuma-se ter adição e multiplicação como operações fundamentais definidas por axiomas). - A igualdade
(noções lógicas/equacionais básicas). - A relação de ordem
pode ser tratada como primitiva ou ser definida a partir de adição; em muitos cursos consideram a ordem uma relação primitiva nos naturais. - O número
(às vezes definido como sucessor de , mas frequentemente tratado como símbolo básico para o elemento multiplicativo neutro). - Noções lógicas básicas: quantificadores (
, ), conectivos, variável, existência — essas são primitivas da lógica usada na definição.
- O conjunto dos números naturais
Explicação: chamar de “primitivo” significa que o conceito não é definido por outros conceitos no desenvolvimento base que se assume; por exemplo, “multiplicação” é postulado com suas propriedades (associatividade, comutatividade, etc.) ou construída a partir da adição, dependendo do nível. Para um estudante, é prático considerar
,
, multiplicação e igualdade como conceitos de base que já conhece e usa.
Passo 7
Exemplos práticos (como aplicar a definição na prova)
-
Verificar que
é composto: mostrar um divisor próprio. - Observe
. Escrevendo em TeX: . - Aqui
, e existe tal que . Logo existe divisor próprio , então é composto.
- Observe
-
Verificar que
não é composto (é primo): procurar divisores próprios. - Os candidatos
com são . - Nenhum deles satisfaz
com . Logo não existe divisor próprio; portanto não é composto.
- Os candidatos
Dica prática para prova: para mostrar que um
é composto, basta encontrar um divisor próprio
e escrever
. Para mostrar que
é primo (não composto), é preciso argumentar que não existe divisor próprio — normalmente testando divisores até
.
Passo 8
Forma alternativa e equivalência com primos
- Alternativa equivalente: uma outra formulação comum é: “Um número natural
é composto se não for primo.” E a definição de primo é: é primo se os únicos divisores positivos de são e . - Essas formulações são equivalentes porque o universo dos naturais
se divide em números primos e compostos (com a ressalva de que é nem primo nem composto).
Passo 9
Resumo pedagógico e dica de memorização
- Memorize: “composto = tem um fator não-trivial” — em símbolos:
composto tal que e . - Para a prova: quando pedirem para definir, escreva a definição com quantificadores e explique rapidamente o que é “divisor”. Ao testar um número, mostre explicitamente a fatoração que dá o divisor próprio.
Resposta
Um número natural
é composto se
e existe
tal que
e
(isto é, existe
com
).