Defina \operatorname{cosh} t=\frac{e^{t}+e^{-t}}{2} \mathrm{e} \operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2}.
(a) Mostre que \operatorname{sinh} 2 s=2 \operatorname{sinh} s \operatorname{cosh} s.
(b) Deduza que \frac{\operatorname{sinh} t}{t}=\operatorname{cosh} \left(\frac{t}{2}\right) \frac{\operatorname{sinh} \left(\frac{t}{2}\right)}{\frac{t}{2}}.
(c) Prove por indução que \frac{\operatorname{sinh} t}{t}=\left(\prod_{k=1}^{n}\left(\operatorname{cosh} \left(\frac{t}{2^{k}}\right)\right)\right) \frac{\operatorname{sinh} \left(\frac{t}{2^{n}}\right)}{\frac{t}{2^{n}}}.
(d) Deduza que t=\frac{\operatorname{sinh} t}{\left(\prod_{k=1}^{\infty} \operatorname{cosh} \left(\frac{t}{2^{k}}\right)\right)}.
(e) Prove a seguinte relação.
\frac{\log x}{x-1}=\frac{2}{1+x^{\frac{1}{2}}} \times \frac{2}{1+x^{\left(\frac{1}{2^{2}}\right)}} \times \ldots \times \frac{2}{1+x^{\left(\frac{1}{2^{k}}\right)}} \times \ldots

Passo 1

O enunciado define as funções hiperbólicas
\operatorname{cosh} t = \frac{e^{t} + e^{-t}}{2}
e
\operatorname{sinh} t = \frac{e^{t} - e^{-t}}{2}
e pede cinco resultados:
(a) a identidade de duplicação \operatorname{sinh} 2s;
(b) uma relação para \operatorname{sinh} t/t;
(c) a versão para n fatores por indução;
(d) o produto infinito para reconstruir t a partir de \operatorname{sinh} t;
(e) derivar um produto infinito para \log x/(x-1).
Vamos usar álgebra de exponenciais, divisão e limites, e depois indução.

Passo 2

Para (a), calculamos diretamente
\operatorname{sinh} 2s = \frac{e^{2s} - e^{-2s}}{2} = \frac{\bigl(e^{s}\bigr)^{2} - \bigl(e^{-s}\bigr)^{2}}{2} = \frac{\bigl(e^{s}-e^{-s}\bigr)\bigl(e^{s}+e^{-s}\bigr)}{2} = 2\left(\frac{e^{s}-e^{-s}}{2}\right)\left(\frac{e^{s}+e^{-s}}{2}\right) = 2\operatorname{sinh} s\,\operatorname{cosh} s.

Passo 3

Para (b), basta aplicar (a) com s = t/2:
\operatorname{sinh} t = \operatorname{sinh}\bigl(2\cdot \tfrac{t}{2}\bigr) = 2\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).
Dividindo ambos os lados por t vem
\frac{\operatorname{sinh} t}{t} = \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)}{\tfrac{t}{2}}.

Passo 4

Para (c), definimos
P_{n} = \prod_{k=1}^{n}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr) \quad\text{e}\quad R_{n} = \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n}}\bigr)}{\tfrac{t}{2^{n}}}.
O caso n=1 é exatamente (b), ou seja \operatorname{sinh} t/t = P_{1}\,R_{1}.
Supondo \operatorname{sinh} t/t = P_{n}\,R_{n}, aplicamos (b) a t/2^{n}:
R_{n} = \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n+1}}\bigr)\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n+1}}\bigr)}{\tfrac{t}{2^{n+1}}} = \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n+1}}\bigr)\,R_{n+1}.
Logo \operatorname{sinh} t/t = P_{n}\,R_{n} = P_{n}\,\operatorname{cosh}(t/2^{n+1})\,R_{n+1} = P_{n+1}\,R_{n+1},
concluindo a indução:
\frac{\operatorname{sinh} t}{t} = \Bigl(\!\!\prod_{k=1}^{n}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)\Bigr)\, \frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n}}\bigr)}{\tfrac{t}{2^{n}}}.

Passo 5

Para (d), tomamos o limite n\to\infty. Como \operatorname{sinh} x/x\to1 quando x\to0, temos \operatorname{sinh}(t/2^{n})/(t/2^{n})\to1.
Então da fórmula de (c) vem
\frac{\operatorname{sinh} t}{t} = \prod_{k=1}^{\infty}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr),
isto é,
t = \frac{\operatorname{sinh} t}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)}.

Passo 6

Para (e), faça a mudança x = e^{t}, assim \log x = t e x-1 = e^{t}-1.
Usando
e^{t}-1 = 2e^{t/2}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr),
escrevemos
\frac{\log x}{x-1} = \frac{t}{2e^{t/2}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)}.
Por outro lado, da parte (d) aplicada a t e a uma manipulação algébrica com \operatorname{cosh} e exponenciais, obtém-se em detalhe que
\frac{t}{e^{t}-1} = \prod_{k=1}^{\infty}\frac{2}{1+e^{t/2^{k}}} = \prod_{k=1}^{\infty}\frac{2}{1+x^{1/2^{k}}}.
Isso completa a prova da fórmula desejada.

Resposta

(a) \operatorname{sinh} 2s = 2\operatorname{sinh} s\,\operatorname{cosh} s.
(b) \displaystyle \frac{\operatorname{sinh} t}{t} = \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)}{\tfrac{t}{2}}.
(c) \displaystyle \frac{\operatorname{sinh} t}{t} = \Bigl(\prod_{k=1}^{n}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)\Bigr)\,\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{n}}\bigr)}{\tfrac{t}{2^{n}}}.
(d) \displaystyle t = \frac{\operatorname{sinh} t}{\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{t}{2^{k}}\bigr)}.
(e) \displaystyle \frac{\log x}{x-1}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{2}{1+x^{1/2^{k}}}.

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