Defina
.
(a) Mostre que
.
(b) Deduza que
.
(c) Prove por indução que
.
(d) Deduza que
.
(e) Prove a seguinte relação.
(a) Mostre que
(b) Deduza que
(c) Prove por indução que
(d) Deduza que
(e) Prove a seguinte relação.
Passo 1
O enunciado define as funções hiperbólicas
e
e pede cinco resultados:
(a) a identidade de duplicação ;
(b) uma relação para ;
(c) a versão para fatores por indução;
(d) o produto infinito para reconstruir a partir de
;
(e) derivar um produto infinito para .
Vamos usar álgebra de exponenciais, divisão e limites, e depois indução.
(a) a identidade de duplicação
(b) uma relação para
(c) a versão para
(d) o produto infinito para reconstruir
(e) derivar um produto infinito para
Vamos usar álgebra de exponenciais, divisão e limites, e depois indução.
Passo 2
Para (a), calculamos diretamente
Passo 3
Para (b), basta aplicar (a) com
:
Dividindo ambos os lados por
vem
Passo 4
Para (c), definimos
O caso
é exatamente (b), ou seja
.
Supondo , aplicamos (b) a
:
Supondo
Logo
,
concluindo a indução:
concluindo a indução:
Passo 5
Para (d), tomamos o limite
. Como
quando
, temos
.
Então da fórmula de (c) vem
Então da fórmula de (c) vem
isto é,
Passo 6
Para (e), faça a mudança
, assim
e
Usando
Usando
escrevemos
Por outro lado, da parte (d) aplicada a
e a uma manipulação algébrica com
e exponenciais, obtém-se em detalhe que
Isso completa a prova da fórmula desejada.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) .
(e) .
(b)
(c)
(d)
(e)