- Um fluido viscoso de viscosidade cinemática
é limitado entre dois cilindros circulares concêntricos de raios
e
. O cilindro interno permanece parado enquanto o cilindro externo começa a girar com velocidade angular uniforme
em
. O escoamento axissimétrico é governado pela equação
com condições de fronteira
Determine a solução do problema de valor inicial e de fronteira, considerando
para
.
Passo 1
O problema é achar
sujeito a
com
O método envolve: (i) encontrar a solução estacionária
, (ii) definir
para homogeneizar as fronteiras, (iii) separar variáveis em funções de Bessel de ordem 1, e (iv) usar ortogonalidade para obter os coeficientes.
Passo 2
A solução estacionária satisfaz
cuja forma geral é
Impondo
e
obtemos
logo
Passo 3
Defina
Então
satisfaz
Passo 4
Usando separação
leva a
a equação de Bessel de ordem 1. As autofunções que anulam em
e
são, até fator constante,
onde
satisfaz
e a parte temporal é
Passo 5
Expandindo a condição inicial
os coeficientes vêm de
Passo 6
Voltando a
, a solução completa é
onde
,
,
e
são os definidos acima.
Resposta
com