1. Um fluido viscoso de viscosidade cinemática \nu é limitado entre dois cilindros circulares concêntricos de raios a e b. O cilindro interno permanece parado enquanto o cilindro externo começa a girar com velocidade angular uniforme \Omega em t=0. O escoamento axissimétrico é governado pela equação
\frac{\partial u}{\partial t}=\nu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r}-\frac{u}{r^{2}}\right), a \leq r \leq b, t>0
com condições de fronteira
\begin{aligned} & u(a, 0)=0 \\\ & u(b, 0)=\Omega b \end{aligned}
Determine a solução do problema de valor inicial e de fronteira, considerando u(r, t)=0 para a \leq r \leq b.

Passo 1

O problema é achar u(r,t) sujeito a
\frac{\partial u}{\partial t} =\nu\Bigl(\frac{\partial^{2}u}{\partial r^{2}} +\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} -\frac{u}{r^{2}}\Bigr), \quad a\le r\le b,\;t>0,
com
u(r,0)=0,\quad u(a,t)=0,\quad u(b,t)=\Omega\,b.
O método envolve: (i) encontrar a solução estacionária u_p(r), (ii) definir v=u-u_p para homogeneizar as fronteiras, (iii) separar variáveis em funções de Bessel de ordem 1, e (iv) usar ortogonalidade para obter os coeficientes.

Passo 2

A solução estacionária satisfaz
\frac{d^{2}u_p}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{du_p}{dr}-\frac{u_p}{r^{2}}=0,
cuja forma geral é
u_p(r)=A\,r+\frac{B}{r}.
Impondo u_p(a)=0 e u_p(b)=\Omega\,b obtemos
A=\frac{\Omega\,b^{2}}{b^{2}-a^{2}}, \quad B=-\frac{\Omega\,b^{2}\,a^{2}}{b^{2}-a^{2}},
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u_p(r) =\frac{\Omega\,b^{2}}{b^{2}-a^{2}}\;r -\frac{\Omega\,b^{2}\,a^{2}}{b^{2}-a^{2}}\;\frac{1}{r} =\Omega\,b^{2}\,\frac{r-a^{2}/r}{b^{2}-a^{2}}.

Passo 3

Defina
v(r,t)=u(r,t)-u_p(r).
Então v satisfaz
\frac{\partial v}{\partial t} =\nu\Bigl(v''+\frac{1}{r}v'-\frac{v}{r^{2}}\Bigr), \quad v(r,0)=-\,u_p(r), \quad v(a,t)=v(b,t)=0.

Passo 4

Usando separação v(r,t)=R(r)\,T(t) leva a
\frac{T'}{\nu\,T}=-\lambda^{2}, \quad r^{2}R''+rR'+(\lambda^{2}r^{2}-1)R=0,
a equação de Bessel de ordem 1. As autofunções que anulam em r=a e r=b são, até fator constante,
R_{n}(r) =Y_{1}(\lambda_{n}a)\,J_{1}(\lambda_{n}r) -J_{1}(\lambda_{n}a)\,Y_{1}(\lambda_{n}r),
onde \lambda_{n} satisfaz
J_{1}(\lambda_{n}b)\,Y_{1}(\lambda_{n}a) -J_{1}(\lambda_{n}a)\,Y_{1}(\lambda_{n}b)=0,
e a parte temporal é
T_{n}(t)=\exp\bigl(-\nu\,\lambda_{n}^{2}\,t\bigr).

Passo 5

Expandindo a condição inicial
v(r,0)=-u_p(r) =\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\,R_{n}(r),
os coeficientes vêm de
C_{n} =-\frac{\displaystyle \int_{a}^{b}r\,u_{p}(r)\,R_{n}(r)\,dr} {\displaystyle \int_{a}^{b}r\,[R_{n}(r)]^{2}\,dr}.

Passo 6

Voltando a u, a solução completa é
u(r,t) =u_p(r) +\sum_{n=1}^{\infty} C_{n}\,R_{n}(r)\, \exp\bigl(-\nu\,\lambda_{n}^{2}\,t\bigr),
onde u_p(r), R_{n}(r), \lambda_{n} e C_{n} são os definidos acima.

Resposta

\boxed{ u(r,t) =\underbrace{\frac{\Omega\,b^{2}}{b^{2}-a^{2}}\Bigl(r-\frac{a^{2}}{r}\Bigr)}_{u_p(r)} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ -\frac{\displaystyle \int_{a}^{b}r\,u_{p}(r)\,R_{n}(r)\,dr} {\displaystyle \int_{a}^{b}r\,[R_{n}(r)]^{2}\,dr} \Biggr] \,R_{n}(r)\, e^{-\nu\,\lambda_{n}^{2}\,t} }
com
R_{n}(r) =Y_{1}(\lambda_{n}a)\,J_{1}(\lambda_{n}r) -J_{1}(\lambda_{n}a)\,Y_{1}(\lambda_{n}r),
J_{1}(\lambda_{n}b)\,Y_{1}(\lambda_{n}a) -J_{1}(\lambda_{n}a)\,Y_{1}(\lambda_{n}b)=0.

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