Defina, com suas palavras, o que é uma função quadrática e dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) definir, com palavras, o que é uma função quadrática; (2) dar um exemplo concreto. Não há dados numéricos adicionais no enunciado.

Passo 2

Definição em palavras, simples e direta: uma função quadrática é uma função cujo maior expoente da variável é 2 — ou seja, é uma função do tipo “parabólica” que descreve uma curva em forma de parábola quando desenhada no plano. Em termos leigos: a variável aparece ao quadrado e isso faz o gráfico ter um único “vale” (mínimo) ou um único “pico” (máximo), dependendo do sinal do coeficiente principal.
Escrevendo a definição de forma matemática padrão e explicando cada símbolo: a forma geral de uma função quadrática é
f(x)=ax^{2}+bx+c,
onde:
  • x é a variável independente (o que eu posso escolher);
  • a, b e c são números fixos chamados coeficientes;
  • é obrigatório que a\neq 0 (se a=0 a função deixa de ser quadrática e vira linear).
    O coeficiente a controla a abertura da parábola: se a>0 a parábola abre para cima (tem mínimo); se a<0 abre para baixo (tem máximo). O coeficiente b desloca e inclina a parábola; c é o valor de f em x=0 (intercepto em y).

Passo 3

Propriedades importantes que ajudam a resolver exercícios na prova (com fórmulas e explicações):
  • Eixo de simetria: a parábola é simétrica em relação à reta vertical
x=-\dfrac{b}{2a}.
Isto significa que a coordenada x do vértice é -\dfrac{b}{2a}.
  • Vértice: a coordenada x do vértice é -\dfrac{b}{2a}; a coordenada y do vértice é f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right). Então o vértice é
\left(-\dfrac{b}{2a},\; f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right).
  • Raízes (zeros) e fórmula quadrática: as soluções da equação f(x)=0 são dadas por
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta é o discriminante definido por
\Delta=b^{2}-4ac.
Significado do discriminante:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas (a parábola cruza o eixo x em dois pontos).
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla (a parábola toca o eixo x num ponto — vértice sobre o eixo).
  • Se \Delta<0: sem raízes reais (a parábola não encontra o eixo x).
  • Intercepto em y: f(0)=c.

Passo 4

Exemplo completo e passo a passo (para aprender a executar na prova): considere a função
f(x)=2x^{2}-4x+1.
  1. Verificar que é quadrática: o coeficiente de x^{2} é a=2\neq 0, logo é quadrática.
  2. Eixo de simetria e abscissa do vértice:
x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot 2}=\dfrac{4}{4}=1.
  1. Ordenada do vértice: calcular f(1):
f(1)=2\cdot 1^{2}-4\cdot 1+1=2-4+1=-1.
Então o vértice é (1,-1).
4) Intercepto em y: f(0)=1, ou seja, a parábola cruza o eixo y em (0,1).
5) Discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8>0,
portanto há duas raízes reais distintas.
6) Raízes pela fórmula:
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm\sqrt{8}}{4}=\dfrac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}=1\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Esses valores são os pontos onde a parábola cruza o eixo x.
Resumo do exemplo: f(x)=2x^{2}-4x+1 é quadrática, abre para cima ( a=2>0), vértice em (1,-1), intercepto em y é 1, e raízes x=1\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Dica prática para a prova (resumida e simpática): ao ver uma função, confirme se o termo de maior grau é x^{2} com coeficiente não nulo; depois calcule rapidamente -\dfrac{b}{2a} para achar o eixo/vértice e \Delta=b^{2}-4ac para saber quantas raízes reais existem. Respira fundo, faz os passos nessa ordem e fica tudo mais tranquilo — você consegue!

Resposta

Uma função quadrática é uma função da forma \displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c com a\neq 0; seu gráfico é uma parábola (abre para cima se a>0 e para baixo se a<0).\nExemplo: \displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1.

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