Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se ela é crescente ou decrescente. Informações relevantes:
- A expressão da função:
. - Domínio implícito: todos os números reais (ou seja,
). - Pedido: classificar a monotonicidade (crescente, decrescente ou constante) da função sem fazer gráfico.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): para uma função linear da forma
, o número
(coeficiente de
) é a inclinação da reta e determina a monotonicidade. Vamos ver por que isso funciona de forma simples e direta.
Sejam
e
quaisquer com
. Então, usando a forma linear,
- Se
, então implica , ou seja, para todo : função crescente. - Se
, então para todo : função decrescente. - Se
, então : função constante.
Essa demonstração é apenas a tradução algébrica da ideia geométrica do “inclinação da reta”.
Passo 3
Aplicando ao caso dado: escrevendo
no formato
, identificamos
e
. Como
, pela razão do passo anterior a função é decrescente.
Mostrando também com a desigualdade direta: para
,
Como
, segue que
, portanto
sempre que
. Isso confirma que a função é decrescente.
Observação alternativa (intuição extra): se preferir pensar em derivada (não é necessário aqui, mas ajuda a entender): a derivada de
é
para todo
; como
em todo o domínio, a função é decrescente em
.
Passo 4
Exemplo numérico rápido para fixar:
e
. Ao aumentar
de
para
, o valor de
diminuiu, comportamento típico de função decrescente.
Resposta
A função
é decrescente em
.