Sem fazer o gráfico, determine se as funções abaixo são crescente ou decrescente:
f(x)=-x-8

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=-x-8 e pede para determinar se ela é crescente ou decrescente. Informações relevantes:
  • A expressão da função: f(x)=-x-8.
  • Domínio implícito: todos os números reais (ou seja, \mathbb{R}).
  • Pedido: classificar a monotonicidade (crescente, decrescente ou constante) da função sem fazer gráfico.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): para uma função linear da forma \,f(x)=m x + b, o número m (coeficiente de x) é a inclinação da reta e determina a monotonicidade. Vamos ver por que isso funciona de forma simples e direta.
Sejam x_1 e x_2 quaisquer com x_1<x_2. Então, usando a forma linear,
f(x_2)-f(x_1)=m x_2 + b - (m x_1 + b)=m(x_2-x_1).
  • Se m>0, então x_2-x_1>0 implica f(x_2)-f(x_1)>0, ou seja, f(x_2)>f(x_1) para todo x_1<x_2: função crescente.
  • Se m<0, então f(x_2)-f(x_1)<0 para todo x_1<x_2: função decrescente.
  • Se m=0, então f(x_2)-f(x_1)=0: função constante.
Essa demonstração é apenas a tradução algébrica da ideia geométrica do “inclinação da reta”.

Passo 3

Aplicando ao caso dado: escrevendo f(x)=-x-8 no formato m x + b, identificamos m=-1 e b=-8. Como m=-1<0, pela razão do passo anterior a função é decrescente.
Mostrando também com a desigualdade direta: para x_1<x_2,
f(x_2)-f(x_1) = -x_2-8 - (-x_1-8) = -(x_2-x_1).
Como x_2-x_1>0, segue que f(x_2)-f(x_1)<0, portanto f(x_2)<f(x_1) sempre que x_1<x_2. Isso confirma que a função é decrescente.
Observação alternativa (intuição extra): se preferir pensar em derivada (não é necessário aqui, mas ajuda a entender): a derivada de f é f'(x)=-1 para todo x; como f'(x)<0 em todo o domínio, a função é decrescente em \mathbb{R}.

Passo 4

Exemplo numérico rápido para fixar: f(0)=-8 e f(1)=-9. Ao aumentar x de 0 para 1, o valor de f diminuiu, comportamento típico de função decrescente.

Resposta

A função f(x)=-x-8 é decrescente em \mathbb{R}.

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