Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
h) Estabilidade

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o termo “Estabilidade”: (i) apresentar a definição formal (a definição matemática padrão usada em sistemas dinâmicos) e (ii) exemplificar com casos concretos. Não há outros dados numéricos ou figuras; a resposta deve conter a definição formal e exemplos explicados passo a passo.

Passo 2

Ideia informal rápida (antes da definição formal): quando falamos que um estado de um sistema dinâmico é “estável” queremos dizer que pequenas perturbações iniciais produzem apenas pequenas variações do comportamento futuro — o sistema não “explodirá” por causa de um pequeno empurrão. Há vários graus disso: estabilidade (no sentido de Lyapunov), estabilidade assintótica (perturbações morrem com o tempo) e estabilidade exponencial (perturbações decaem a uma taxa exponencial). Vou agora dar as definições formais e explicar cada item com calma.

Passo 3

Definição formal de estabilidade (Lyapunov) para um ponto de equilíbrio. Considere um sistema autônomo em \mathbb{R}^n
\dot{x} = f(x),
com f contínua e suponha que x^*\in\mathbb{R}^n é um ponto de equilíbrio, ou seja f(x^*)=0.
Definição (estabilidade no sentido de Lyapunov):
\text{O ponto } x^* \text{ é estável se, para todo } \varepsilon>0,\\ \exists \delta>0 \text{ tal que, se } \|x(0)-x^*\|<\delta,éá
então a solução x(t) existe para t\ge 0 e satisfaz \|x(t)-x^*\|<\varepsilon para todo t\ge 0.
Expliquei as variáveis:
  • \varepsilon>0 é o raio desejado em torno do equilíbrio (quão longe permitimos que a solução vá);
  • \delta>0 é o raio de confiança na condição inicial (quão pequeno precisa ser o desvio inicial);
  • \|\cdot\| é uma norma qualquer em \mathbb{R}^n (por exemplo a norma euclidiana);
  • a definição exige que para cada \varepsilon exista algum \delta que garanta que, começando dentro de \delta, a trajetória nunca sai do bolso \varepsilon.

Passo 4

Definição de estabilidade assintótica e instabilidade:
  • Assintoticamente estável: x^* é estável no sentido de Lyapunov e, além disso, existe \delta'>0 tal que, se \|x(0)-x^*\|<\delta', então \lim_{t\to\infty} x(t)=x^*. Ou seja, além de permanecer próxima, a solução converge para o equilíbrio.
  • Instável: x^* é instável se não é estável no sentido de Lyapunov — em prática, existe alguma \varepsilon>0 tal que para toda \delta>0 existem condições iniciais com \|x(0)-x^*\|<\delta que fazem a solução sair do bolo de raio \varepsilon.
Definição de estabilidade exponencial (uma forma quantitativa de assintótica):
x^* é exponencialmente estável se existem constantes M\ge 1 e \lambda>0 e \delta>0 tais que, sempre que \|x(0)-x^*\|<\delta,
\|x(t)-x^*\| \le M e^{-\lambda t} \|x(0)-x^*\| \qquad\text{para todo } t\ge 0.
Isto diz que o erro decai no mínimo com taxa exponencial \lambda (multiplicada por um fator M).

Passo 5

Por que essas definições importam na prova / como checar na prática (resumo rápido de métodos):
  • Para sistemas lineares \dot x = A x, verificar estabilidade é simples: os autovalores de A determinam tudo.
    • Se todos os autovalores de A têm parte real negativa \Rightarrow equilíbrio x^*=0 é exponencialmente (logo assintoticamente) estável.
    • Se alguma parte real é positiva \Rightarrow instável.
    • Se todas as partes reais são \le 0 e existem autovalores com parte real zero com multiplicidade algébrica > geométrica ou sem diagonalização apropriada, precisa-se de análise adicional (pode ser apenas estável ou instável).
  • Para sistemas não-lineares: linearizar f em x^* (Jacobiána Df(x^*)). Se o linearizado tem todos autovalores com parte real negativa, então x^* é assintoticamente estável (teorema linearização de Lyapunov). Se o linearizado tem algum autovalor com parte real positiva, x^* é instável. Caso limite (autovalor com parte real zero), não dá para concluir pela linearização: usa-se funções de Lyapunov ou argumentos específicos.

Passo 6

Exemplo 1 — caso unidimensional simples (ilustração direta):
Considere \dot{x} = -a x com a\in\mathbb{R}.
  • Solução geral com condição inicial x(0)=x_0 é
x(t) = x_0 e^{-a t}.
  • Se a>0: \lim_{t\to\infty} x(t)=0 e |x(t)| = |x_0| e^{-a t} satisfaz a desigualdade exponencial com M=1 e \lambda=a. Portanto x^*=0 é exponencialmente estável (logo assintoticamente estável).
  • Se a=0: \dot{x}=0\Rightarrow x(t)=x_0 constante. Assim qualquer pequeno desvio permanece constante: x^*=0 é estável no sentido de Lyapunov (não explode), mas não é assintoticamente estável (não converge para zero, a menos que já seja zero).
  • Se a<0: solução é x(t)=x_0 e^{|a| t} que diverge quando x_0\neq0: x^*=0 é instável.
Esses cálculos mostram como o sinal do coeficiente determina a estabilidade.

Passo 7

Exemplo 2 — os três comportamentos em dimensões maiores:
  • Centro (estável mas não assintótico): considere
\dot{x} = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} x.
Soluções são rotações uniformes; \|x(t)\|=\|x(0)\| para todo t. Logo x^*=0 é estável (pequenos desvios permanecem pequenos) mas não é assintoticamente estável (não convergem a zero).
  • Sela (instável): considere
\dot{x} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix} x.
As soluções separam-se em direções: na direção associada a autovalor 1 cresce exponencialmente (instabilidade), na outra decai. Assim x^*=0 é instável.
  • Oscilador amortecido (assintoticamente estável): equação de segunda ordem \ddot y + 2\zeta\omega \dot y + \omega^2 y =0. Transformando em sistema de 2D e para \zeta>0 obtém-se autovalores com parte real negativa, logo y=0 é assintoticamente (às vezes exponencialmente) estável. No caso subamortecido ( 0<\zeta<1) há oscilação com amplitude que decai no tempo.]

Passo 8

Exemplo com função de Lyapunov (método construtivo):
Para mostrar estabilidade sem resolver as equações, usa-se uma função de Lyapunov V(x) com propriedades semelhantes a uma “energia”.
  • Considere \dot x = -a x com a>0. Tome
V(x)=\tfrac{1}{2}x^2.
Então V(0)=0 e V(x)>0 para x\neq0. A derivada ao longo das trajetórias é
\dot V(x) = \frac{d}{dt}\big(\tfrac{1}{2}x(t)^2\big) = x\dot x = x(-ax) = -a x^2.
Como \dot V(x) = -a x^2 \le 0 e é negativa definida para x\neq0, conclui-se que x^*=0 é assintoticamente estável. Este é o método típico: achar V positiva definida e \dot V negativa definida.

Passo 9

Observações úteis para prova (dicas práticas e linguagem):
  • Sempre comece identificando o ponto de equilíbrio x^* (resolver f(x)=0).
  • Para sistemas lineares, calcule os autovalores de A; sinal das partes reais é a chave.
  • Para não-lineares, linearize (Jacobiána) e use o teorema de estabilidade linear quando possível; em casos-limite use funções de Lyapunov.
  • Ao construir uma função de Lyapunov, a forma quadrática V(x)=x^\top P x com P simétrica positiva é uma escolha comum para sistemas próximos de linear.
  • Lembre-se da diferença conceitual: estabilidade (permanecer próximo), assintótica (convergir) e exponencial (convergir com taxa exponencial).

Resposta

Definição formal (estabilidade no sentido de Lyapunov): seja \dot{x}=f(x) e x^* um equilíbrio ( f(x^*)=0). O ponto x^* é estável se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que \|x(0)-x^*\|<\delta implica \|x(t)-x^*\|<\varepsilon para todo t\ge 0.
Exemplos:
  • \dot{x}=-a x com a>0: x^*=0 é exponencialmente estável (solução x(t)=x_0 e^{-a t}).
  • \dot{x}=0: x^*=0 é estável (perturbações permanecem constantes) mas não assintoticamente estável.
  • \dot{x}=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}x: x^*=0 é estável (trajectórias circulares) mas não assintoticamente estável.
  • \dot{x}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}x: x^*=0 é instável (direção com crescimento exponencial).]

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