Defina (pesquise a definição formal) e exemplifique:
h) Estabilidade
h) Estabilidade
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o termo “Estabilidade”: (i) apresentar a definição formal (a definição matemática padrão usada em sistemas dinâmicos) e (ii) exemplificar com casos concretos. Não há outros dados numéricos ou figuras; a resposta deve conter a definição formal e exemplos explicados passo a passo.
Passo 2
Ideia informal rápida (antes da definição formal): quando falamos que um estado de um sistema dinâmico é “estável” queremos dizer que pequenas perturbações iniciais produzem apenas pequenas variações do comportamento futuro — o sistema não “explodirá” por causa de um pequeno empurrão. Há vários graus disso: estabilidade (no sentido de Lyapunov), estabilidade assintótica (perturbações morrem com o tempo) e estabilidade exponencial (perturbações decaem a uma taxa exponencial). Vou agora dar as definições formais e explicar cada item com calma.
Passo 3
Definição formal de estabilidade (Lyapunov) para um ponto de equilíbrio. Considere um sistema autônomo em
com
contínua e suponha que
é um ponto de equilíbrio, ou seja
.
Definição (estabilidade no sentido de Lyapunov):
então a solução
existe para
e satisfaz
para todo
.
Expliquei as variáveis:
-
é o raio desejado em torno do equilíbrio (quão longe permitimos que a solução vá); -
é o raio de confiança na condição inicial (quão pequeno precisa ser o desvio inicial); -
é uma norma qualquer em (por exemplo a norma euclidiana); - a definição exige que para cada
exista algum que garanta que, começando dentro de , a trajetória nunca sai do bolso .
Passo 4
Definição de estabilidade assintótica e instabilidade:
- Assintoticamente estável:
é estável no sentido de Lyapunov e, além disso, existe tal que, se , então . Ou seja, além de permanecer próxima, a solução converge para o equilíbrio. - Instável:
é instável se não é estável no sentido de Lyapunov — em prática, existe alguma tal que para toda existem condições iniciais com que fazem a solução sair do bolo de raio .
Definição de estabilidade exponencial (uma forma quantitativa de assintótica):
é exponencialmente estável se existem constantes
e
e
tais que, sempre que
,
Isto diz que o erro decai no mínimo com taxa exponencial
(multiplicada por um fator
).
Passo 5
Por que essas definições importam na prova / como checar na prática (resumo rápido de métodos):
- Para sistemas lineares
, verificar estabilidade é simples: os autovalores de determinam tudo. - Se todos os autovalores de
têm parte real negativa equilíbrio é exponencialmente (logo assintoticamente) estável. - Se alguma parte real é positiva
instável. - Se todas as partes reais são
e existem autovalores com parte real zero com multiplicidade algébrica > geométrica ou sem diagonalização apropriada, precisa-se de análise adicional (pode ser apenas estável ou instável).
- Se todos os autovalores de
- Para sistemas não-lineares: linearizar
em (Jacobiána ). Se o linearizado tem todos autovalores com parte real negativa, então é assintoticamente estável (teorema linearização de Lyapunov). Se o linearizado tem algum autovalor com parte real positiva, é instável. Caso limite (autovalor com parte real zero), não dá para concluir pela linearização: usa-se funções de Lyapunov ou argumentos específicos.
Passo 6
Exemplo 1 — caso unidimensional simples (ilustração direta):
Considere com
.
Considere
- Solução geral com condição inicial
é
- Se
: e satisfaz a desigualdade exponencial com e . Portanto é exponencialmente estável (logo assintoticamente estável). - Se
: constante. Assim qualquer pequeno desvio permanece constante: é estável no sentido de Lyapunov (não explode), mas não é assintoticamente estável (não converge para zero, a menos que já seja zero). - Se
: solução é que diverge quando : é instável.
Esses cálculos mostram como o sinal do coeficiente determina a estabilidade.
Passo 7
Exemplo 2 — os três comportamentos em dimensões maiores:
- Centro (estável mas não assintótico): considere
Soluções são rotações uniformes;
para todo
. Logo
é estável (pequenos desvios permanecem pequenos) mas não é assintoticamente estável (não convergem a zero).
- Sela (instável): considere
As soluções separam-se em direções: na direção associada a autovalor
cresce exponencialmente (instabilidade), na outra decai. Assim
é instável.
- Oscilador amortecido (assintoticamente estável): equação de segunda ordem
. Transformando em sistema de 2D e para obtém-se autovalores com parte real negativa, logo é assintoticamente (às vezes exponencialmente) estável. No caso subamortecido ( ) há oscilação com amplitude que decai no tempo.]
Passo 8
Exemplo com função de Lyapunov (método construtivo):
Para mostrar estabilidade sem resolver as equações, usa-se uma função de Lyapunov com propriedades semelhantes a uma “energia”.
Para mostrar estabilidade sem resolver as equações, usa-se uma função de Lyapunov
- Considere
com . Tome
Então
e
para
. A derivada ao longo das trajetórias é
Como
e é negativa definida para
, conclui-se que
é assintoticamente estável. Este é o método típico: achar
positiva definida e
negativa definida.
Passo 9
Observações úteis para prova (dicas práticas e linguagem):
- Sempre comece identificando o ponto de equilíbrio
(resolver ). - Para sistemas lineares, calcule os autovalores de
; sinal das partes reais é a chave. - Para não-lineares, linearize (Jacobiána) e use o teorema de estabilidade linear quando possível; em casos-limite use funções de Lyapunov.
- Ao construir uma função de Lyapunov, a forma quadrática
com simétrica positiva é uma escolha comum para sistemas próximos de linear. - Lembre-se da diferença conceitual: estabilidade (permanecer próximo), assintótica (convergir) e exponencial (convergir com taxa exponencial).
Resposta
Definição formal (estabilidade no sentido de Lyapunov): seja
e
um equilíbrio (
). O ponto
é estável se, para todo
, existe
tal que
implica
para todo
.
Exemplos:
-
com : é exponencialmente estável (solução ). -
: é estável (perturbações permanecem constantes) mas não assintoticamente estável. -
: é estável (trajectórias circulares) mas não assintoticamente estável. -
: é instável (direção com crescimento exponencial).]