Defina com suas próprias palavras o que é um subgrupo normal.

Passo 1

Neste exercício, vamos definir o que é um subgrupo normal. Estamos trabalhando com conceitos de Teoria dos Grupos, uma área da Álgebra Abstrata. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é um subgrupo e o que significa ser normal em um subgrupo.

Passo 2

Primeiro, um grupo é um conjunto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, satisfazendo quatro propriedades essenciais: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros com a operação de adição forma um grupo.

Passo 3

Um subgrupo é simplesmente um subconjunto de um grupo que também é um grupo por si só, usando a mesma operação definida no grupo maior. Isso significa que o subgrupo deve conter o elemento neutro do grupo, ser fechado sob a operação e conter os inversos de seus elementos.

Passo 4

Agora, para entender o que é normalidade em um subgrupo, precisamos falar sobre conjugação. Para qualquer elemento g no grupo G e qualquer elemento n no subgrupo N , a conjugação de n por g é dada por gng^-1 .

Passo 5

Um subgrupo N é chamado de normal no grupo G se, para todo elemento g em G e todo elemento n em N , o elemento conjugado gng^-1 também pertence a N . Isso é denotado por N triang<=<=fteq G .

Resposta

Um subgrupo normal é um subgrupo que, ao ser conjugado por qualquer elemento do grupo inteiro, permanece dentro do próprio subgrupo. Em outras palavras, para todo g no grupo G e todo n no subgrupo N , o elemento gng^-1 está sempre em N .

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