Defina com suas próprias palavras o que é um subgrupo normal.
Passo 1
Neste exercício, vamos definir o que é um subgrupo normal. Estamos trabalhando com conceitos de Teoria dos Grupos, uma área da Álgebra Abstrata. Para isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é um subgrupo e o que significa ser normal em um subgrupo.
Passo 2
Primeiro, um grupo é um conjunto com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro, satisfazendo quatro propriedades essenciais: fechamento, associatividade, elemento neutro e inversos. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros com a operação de adição forma um grupo.
Passo 3
Um subgrupo é simplesmente um subconjunto de um grupo que também é um grupo por si só, usando a mesma operação definida no grupo maior. Isso significa que o subgrupo deve conter o elemento neutro do grupo, ser fechado sob a operação e conter os inversos de seus elementos.
Passo 4
Agora, para entender o que é normalidade em um subgrupo, precisamos falar sobre conjugação. Para qualquer elemento
no grupo
e qualquer elemento
no subgrupo
, a conjugação de
por
é dada por
.
Passo 5
Um subgrupo
é chamado de normal no grupo
se, para todo elemento
em
e todo elemento
em
, o elemento conjugado
também pertence a
. Isso é denotado por
.
Resposta
Um subgrupo normal é um subgrupo que, ao ser conjugado por qualquer elemento do grupo inteiro, permanece dentro do próprio subgrupo. Em outras palavras, para todo
no grupo
e todo
no subgrupo
, o elemento
está sempre em
.