Considere o grupo Z3 times Z4 e responda os seguintes ítens:
a) Liste seus elementos.
b) Determine a ordem de cada elemento.
c) Este grupo é cíclico? Por quê?

Passo 1

Beleza, a gente vai trabalhar com o grupo Z3 times Z4. Basicamente, isso significa que estamos lidando com pares ordenados onde o primeiro número vem de Z3 (os números 0, 1, 2) e o segundo de Z4 (os números 0, 1, 2, 3). Vamos precisar entender o que são grupos, o que significa a ordem de um elemento e o que torna um grupo cíclico.

Passo 2

Item a) Lista dos elementos
Vamos listar todos os pares possíveis de Z3 times Z4. Como Z3 tem 3 elementos e Z4 tem 4, teremos 3 times 4 = 12 elementos no total. São eles:
(0,0), (0,1), (0,2), (0,3),
(1,0), (1,1), (1,2), (1,3),
(2,0), (2,1), (2,2), (2,3)

Passo 3

Item b) Determinar a ordem de cada elemento
A ordem de um elemento em um grupo é o menor número de vezes que você precisa somar o elemento a si mesmo para chegar ao elemento neutro (que aqui é (0,0)).
Vamos calcular a ordem de cada par (a, b):
  1. (0,0): Já é o neutro, então a ordem é 1.
  2. (0,1):
    • 2 vezes (0,1) = (0+0, 1+1) = (0,2)
    • 3 vezes (0,1) = (0,3)
    • 4 vezes (0,1) = (0,0) → Ordem 4.
  3. (0,2):
    • 2 vezes (0,2) = (0,0) → Ordem 2.
  4. (0,3):
    • 2 vezes (0,3) = (0,2)
    • 3 vezes (0,3) = (0,1)
    • 4 vezes (0,3) = (0,0) → Ordem 4.
  5. (1,0):
    • 3 vezes (1,0) = (0,0) → Ordem 3.
  6. (1,1):
    • Vamos encontrar o menor múltiplo comum de 3 e 4, que é 12 → Ordem 12.
  7. (1,2):
    • Menor múltiplo comum de 3 e 2 (ordem de 2 para o segundo componente) é 6 → Ordem 6.
  8. (1,3):
    • Menor múltiplo comum de 3 e 4 é 12 → Ordem 12.
  9. (2,0):
    • 3 vezes (2,0) = (0,0) → Ordem 3.
  10. (2,1):
    • Menor múltiplo comum de 3 e 4 é 12 → Ordem 12.
  11. (2,2):
    • Menor múltiplo comum de 3 e 2 é 6 → Ordem 6.
  12. (2,3):
    • Menor múltiplo comum de 3 e 4 é 12 → Ordem 12.

Passo 4

Item c) O grupo é cíclico?
Um grupo é cíclico se ele tem um elemento cuja ordem é igual ao número de elementos do grupo. Aqui, Z3 times Z4 tem 12 elementos.
Observando as ordens dos elementos, vemos que alguns têm ordem 12, como (1,1), (1,3), (2,1) e (2,3). Isso significa que esses elementos podem gerar todo o grupo ao serem somados repetidamente. Portanto, o grupo Z3 times Z4 é cíclico.

Resposta

a) Os elementos são (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3).
b) As ordens são:
  • (0,0): 1
  • (0,1): 4
  • (0,2): 2
  • (0,3): 4
  • (1,0): 3
  • (1,1): 12
  • (1,2): 6
  • (1,3): 12
  • (2,0): 3
  • (2,1): 12
  • (2,2): 6
  • (2,3): 12
c) Sim, o grupo é cíclico porque possui elementos com ordem 12, que é igual ao número total de elementos do grupo.

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