Considere o grupo
e responda os seguintes ítens:
a) Liste seus elementos.
b) Determine a ordem de cada elemento.
c) Este grupo é cíclico? Por quê?
a) Liste seus elementos.
b) Determine a ordem de cada elemento.
c) Este grupo é cíclico? Por quê?
Passo 1
Beleza, a gente vai trabalhar com o grupo
. Basicamente, isso significa que estamos lidando com pares ordenados onde o primeiro número vem de
(os números 0, 1, 2) e o segundo de
(os números 0, 1, 2, 3). Vamos precisar entender o que são grupos, o que significa a ordem de um elemento e o que torna um grupo cíclico.
Passo 2
Item a) Lista dos elementos
Vamos listar todos os pares possíveis de
. Como
tem 3 elementos e
tem 4, teremos
elementos no total. São eles:
Passo 3
Item b) Determinar a ordem de cada elemento
A ordem de um elemento em um grupo é o menor número de vezes que você precisa somar o elemento a si mesmo para chegar ao elemento neutro (que aqui é
).
Vamos calcular a ordem de cada par
:
-
: Já é o neutro, então a ordem é 1. -
: - 2 vezes
- 3 vezes
- 4 vezes
→ Ordem 4.
- 2 vezes
-
: - 2 vezes
→ Ordem 2.
- 2 vezes
-
: - 2 vezes
- 3 vezes
- 4 vezes
→ Ordem 4.
- 2 vezes
-
: - 3 vezes
→ Ordem 3.
- 3 vezes
-
: - Vamos encontrar o menor múltiplo comum de 3 e 4, que é 12 → Ordem 12.
-
: - Menor múltiplo comum de 3 e 2 (ordem de 2 para o segundo componente) é 6 → Ordem 6.
-
: - Menor múltiplo comum de 3 e 4 é 12 → Ordem 12.
-
: - 3 vezes
→ Ordem 3.
- 3 vezes
-
: - Menor múltiplo comum de 3 e 4 é 12 → Ordem 12.
-
: - Menor múltiplo comum de 3 e 2 é 6 → Ordem 6.
-
: - Menor múltiplo comum de 3 e 4 é 12 → Ordem 12.
Passo 4
Item c) O grupo é cíclico?
Um grupo é cíclico se ele tem um elemento cuja ordem é igual ao número de elementos do grupo. Aqui,
tem 12 elementos.
Observando as ordens dos elementos, vemos que alguns têm ordem 12, como
,
,
e
. Isso significa que esses elementos podem gerar todo o grupo ao serem somados repetidamente. Portanto, o grupo
é cíclico.
Resposta
a) Os elementos são
.
b) As ordens são:
-
: 1 -
: 4 -
: 2 -
: 4 -
: 3 -
: 12 -
: 6 -
: 12 -
: 3 -
: 12 -
: 6 -
: 12
c) Sim, o grupo é cíclico porque possui elementos com ordem 12, que é igual ao número total de elementos do grupo.