Defina o raio e o intervalo de convergência das séries: sum x^nln n.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos a série sum x^nln n e precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potência e aplicar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os termos da série. A série é da forma sum an x^n, onde an = 1ln n. Nosso objetivo é encontrar para quais valores de x a série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1 x^n+1an x^n |
Simplificando:
L = limn to infty | 1ln (n+1) x^n+11ln n x^n | = limn to infty | ln nln (n+1) cdot x |

Passo 4

Simplificando o limite:
L = |x| cdot limn to infty ln nln (n+1)
Sabemos que, para n grande, ln (n+1) approx ln n, então:
L = |x| cdot 1 = |x|

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, a série converge se L < 1, ou seja:
|x| < 1
E diverge se |x| > 1.

Passo 6

O raio de convergência R é o valor tal que |x| < R garante a convergência da série. Pelo nosso cálculo:
R = 1

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para |x| < 1. Precisamos verificar os extremos x = 1 e x = -1.

Passo 8

Para x = 1, a série fica:
sum 1^nln n = sum 1ln n
Esta série diverge, pois 1ln n diminui mais lentamente que 1n, e a série harmônica divergente.

Passo 9

Para x = -1, a série fica:
sum (-1)^nln n
Esta é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, verificamos que:
  • 1ln n é decrescente.
  • limn to infty 1ln n = 0.
    Portanto, a série converge para x = -1.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 <= x < 1.

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