Defina a seguinte função e determine o domínio da função resultante:
g \circ f. Sendo,
f(x)=\frac{1}{x-3} \quad e \quad g(x)=\frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede a composição (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr), em que
f(x)=\frac{1}{x-3}
e
g(x)=\frac{x}{x+1}.
O conteúdo aqui é produto e soma de funções racionais e análise de domínio, cuidando das proibições de divisão por zero.

Passo 2

Vamos escrever diretamente
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) =\frac{f(x)}{\,f(x)+1\,} =\frac{\displaystyle\frac{1}{x-3}}{\displaystyle\frac{1}{x-3}+1}.
O passo é substituir x\mapsto f(x) na expressão de g.

Passo 3

Simplificamos o quociente: no denominador
\frac{1}{x-3}+1 =\frac{1}{x-3}+\frac{x-3}{x-3} =\frac{1 + (x-3)}{x-3} =\frac{x-2}{x-3}.
Logo
(g\circ f)(x) =\frac{\frac{1}{x-3}}{\frac{x-2}{x-3}} =\frac{1}{x-2}.

Passo 4

Agora determinamos o domínio. Primeiro, f(x)=1/(x-3) exige
x-3\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq3.
Além disso, ao formar g(f(x)) não podemos ter o denominador de g nulo, ou seja
f(x)+1\neq0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x-3}\neq-1 \quad\Longrightarrow\quad 1\neq-(x-3) \quad\Longrightarrow\quad x\neq2.

Resposta

O resultado da composição é
(g\circ f)(x)=\frac{1}{x-2}
e o domínio é
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq2,\;x\neq3\}
isto é, (-\infty,2)\cup(2,3)\cup(3,\infty).

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