Perguntas:
(a) Encontrar explicitamente g[n]\] e calcular diretamente sua transformada \(Z, G(z).(b) Observando quex[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} g[k],usar a Tabela (propriedade de soma) para determinar a transformada X(z) de x[n].
Passo 2
Primeiro vamos calcular g[n] avaliando x[n] e x[n-1] em diferentes valores de n.
Para n<0: x[n]=0 e x[n-1]=0, logo g[n]=0.
Para n=0: x[0]=1 e x[-1]=0, logo g[0]=1-0=1.
Para 1\le n\le5: x[n]=1 e x[n-1]=1, logo g[n]=0.
Para n=6: x[6]=0 e x[5]=1, logo g[6]=0-1=-1.
Para n>6: x[n]=0 e x[n-1]=0, logo g[n]=0.
Portanto g[n] é não nulo apenas em n=0 e n=6. Usando a função impulso discreta \delta[n] (onde \delta[n]=1 se n=0 e 0 caso contrário), escrevemos:
g[n]=\delta[n]-\delta[n-6].
Explicação rápida da notação: \delta[n-k] é um impulso em n=k.
Passo 3
Agora calculo diretamente a transformada Z de g[n]. A definição da transformada Z é
G(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g[n]\,z^{-n}.
Para g[n]=\delta[n]-\delta[n-6] as somas são triviais porque só existem termos em n=0 e n=6:
Aqui usei a propriedade padrão: a transformada de \delta[n-k] é z^{-k}.
Sobre a Região de Convergência (ROC): g[n] tem suporte finito (valores somente em dois índices finitos), então a série converge para todo z finito não nulo; podemos dizer que a ROC é 0<|z|<\infty (i.e., toda a região exceto possivelmente z=0 ou z=\infty). Para fins práticos neste exercício usaremos ROC: 0<|z|<\infty.
Passo 4
Agora explico a relação de soma e sua propriedade na transformada Z. Partindo de g[n]=x[n]-x[n-1], somando ambos os lados de k=-\infty até n obtemos uma soma telescópica:
No lado direito os termos se cancelam em cascata, sobrando x[n]-\lim_{m\to -\infty} x[m-1]. Como x[m]\to0 quando m\to -\infty (o sinal é causal), a soma dá x[n]. Assim
x[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} g[k],
que é a relação que o enunciado apontou.
Passo 5
Vou mostrar a propriedade de transformada associada à soma acumulada (essa é a entrada da Tabela 10.1 que o enunciado menciona).
Seja y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]. Então a transformada Y(z) pode ser obtida manipulando séries:
desde que |z^{-1}|<1 (ou seja, |z|>1) para essa troca; entretanto, no caso de sequência finita as expressões podem ser interpretadas por continuação analítica. Substituindo:
Explicação rápida: multiplique ambos os lados por 1-z^{-1} e verifique que resulta em 1-z^{-6}; ou reconheça que é a soma dos seis termos geométricos de razão z^{-1} começando em 1.
Essa forma mostra explicitamente a transformada como polinômio em z^{-1}, compatível com a definição direta pela soma
X(z)=\sum_{n=0}^{5} z^{-n},
o que retrata que x[n]=1 para n=0,\dots,5 e zero caso contrário.
Quanto à ROC de X(z): como x[n] é de duração finita e começa em n=0, a ROC é 0<|z|<\infty (praticamente toda a esfera complexa exceto possíveis singularidades em 0 ou \infty). A expressão racional tem uma singularidade aparente em z=1 que é na verdade removível (o numerador zera também quando z=1); o polinômio finito 1+z^{-1}+\cdots+z^{-5} é bem definido em z=1 e vale 6.