10.13 Considere o sinal retangular
x[n]= \begin{cases}1, & 0 \leq n \leq 5 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
Seja
g[n]=x[n]-x[n-1] .
(a) Encontre o sinal g[n] e calcule diretamente sua transformada z.
(b) Notando que
x[n]=\sum_{k=-\infty}^{N} g[k],
use a Tabela 10.1 para determinar a transformada z de x[n].

Passo 1

O enunciado dá o sinal retangular [x[n]) e define g[n]=x[n]-x[n-1]. Vou listar claramente o que se pede e os dados fornecidos.
  • Dados: x[n]=\begin{cases}1, & 0 \le n \le 5 \\\\ 0, & \text{caso contrário}\end{cases}áe g[n]=x[n]-x[n-1].
  • Perguntas:
    (a) Encontrar explicitamente g[n]\] e calcular diretamente sua transformada \(Z, G(z).(b) Observando que x[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} g[k],usar a Tabela (propriedade de soma) para determinar a transformada X(z) de x[n].

Passo 2

Primeiro vamos calcular g[n] avaliando x[n] e x[n-1] em diferentes valores de n.
  • Para n<0: x[n]=0 e x[n-1]=0, logo g[n]=0.
  • Para n=0: x[0]=1 e x[-1]=0, logo g[0]=1-0=1.
  • Para 1\le n\le5: x[n]=1 e x[n-1]=1, logo g[n]=0.
  • Para n=6: x[6]=0 e x[5]=1, logo g[6]=0-1=-1.
  • Para n>6: x[n]=0 e x[n-1]=0, logo g[n]=0.
Portanto g[n] é não nulo apenas em n=0 e n=6. Usando a função impulso discreta \delta[n] (onde \delta[n]=1 se n=0 e 0 caso contrário), escrevemos:
g[n]=\delta[n]-\delta[n-6].
Explicação rápida da notação: \delta[n-k] é um impulso em n=k.

Passo 3

Agora calculo diretamente a transformada Z de g[n]. A definição da transformada Z é
G(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g[n]\,z^{-n}.
Para g[n]=\delta[n]-\delta[n-6] as somas são triviais porque só existem termos em n=0 e n=6:
G(z)=\delta[0]\,z^{0}-\delta[6]\,z^{-6}=1 - z^{-6}.
Aqui usei a propriedade padrão: a transformada de \delta[n-k] é z^{-k}.
Sobre a Região de Convergência (ROC): g[n] tem suporte finito (valores somente em dois índices finitos), então a série converge para todo z finito não nulo; podemos dizer que a ROC é 0<|z|<\infty (i.e., toda a região exceto possivelmente z=0 ou z=\infty). Para fins práticos neste exercício usaremos ROC: 0<|z|<\infty.

Passo 4

Agora explico a relação de soma e sua propriedade na transformada Z. Partindo de g[n]=x[n]-x[n-1], somando ambos os lados de k=-\infty até n obtemos uma soma telescópica:
\sum_{k=-\infty}^{n} g[k]=\sum_{k=-\infty}^{n}\big(x[k]-x[k-1]\big).
No lado direito os termos se cancelam em cascata, sobrando x[n]-\lim_{m\to -\infty} x[m-1]. Como x[m]\to0 quando m\to -\infty (o sinal é causal), a soma dá x[n]. Assim
x[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} g[k],
que é a relação que o enunciado apontou.

Passo 5

Vou mostrar a propriedade de transformada associada à soma acumulada (essa é a entrada da Tabela 10.1 que o enunciado menciona).
Seja y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]. Então a transformada Y(z) pode ser obtida manipulando séries:
Y(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n]\,z^{-n} =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\right) z^{-n}.
Troco a ordem de soma (válido para sequências absolutamente somáveis na ROC):
Y(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\sum_{n=k}^{\infty} z^{-n}.
A soma geométrica interna \sum_{n=k}^{\infty} z^{-n} é
\sum_{n=k}^{\infty} z^{-n}=z^{-k}\sum_{m=0}^{\infty} (z^{-1})^{m}= \frac{z^{-k}}{1-z^{-1}},
desde que |z^{-1}|<1 (ou seja, |z|>1) para essa troca; entretanto, no caso de sequência finita as expressões podem ser interpretadas por continuação analítica. Substituindo:
Y(z)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\frac{z^{-k}}{1-z^{-1}}=\frac{1}{1-z^{-1}}X(z).
Portanto a propriedade é
\text{Se }y[n]=\sum_{k=-\infty}^{n} x[k]\quad\Rightarrow\quad Y(z)=\frac{X(z)}{1-z^{-1}}.
No nosso caso, trocando os nomes, com x[n] sendo a soma acumulada de g[n] temos
X(z)=\frac{G(z)}{1-z^{-1}}.

Passo 6

Aplicando a propriedade ao nosso G(z)=1-z^{-6}:
X(z)=\frac{G(z)}{1-z^{-1}}=\frac{1-z^{-6}}{1-z^{-1}}.
Essa expressão pode ser simplificada usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita. Observe que
\frac{1-z^{-6}}{1-z^{-1}}=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}+z^{-5}.
Explicação rápida: multiplique ambos os lados por 1-z^{-1} e verifique que resulta em 1-z^{-6}; ou reconheça que é a soma dos seis termos geométricos de razão z^{-1} começando em 1.
Essa forma mostra explicitamente a transformada como polinômio em z^{-1}, compatível com a definição direta pela soma
X(z)=\sum_{n=0}^{5} z^{-n},
o que retrata que x[n]=1 para n=0,\dots,5 e zero caso contrário.
Quanto à ROC de X(z): como x[n] é de duração finita e começa em n=0, a ROC é 0<|z|<\infty (praticamente toda a esfera complexa exceto possíveis singularidades em 0 ou \infty). A expressão racional tem uma singularidade aparente em z=1 que é na verdade removível (o numerador zera também quando z=1); o polinômio finito 1+z^{-1}+\cdots+z^{-5} é bem definido em z=1 e vale 6.

Resposta

(a) g[n]=\delta[n]-\delta[n-6], \;G(z)=1-z^{-6}.
(b) X(z)=\dfrac{1-z^{-6}}{1-z^{-1}}=1+z^{-1}+z^{-2}+z^{-3}+z^{-4}+z^{-5}.

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