Defina os seguintes termos e localize-os em uma curva típica de tensãodeformação.
d) Limite de proporcionalidade

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) definir o que é o “Limite de proporcionalidade” e (2) indicar onde esse limite aparece numa curva típica tensão-deformação. Não há outros dados numéricos fornecidos — é uma questão conceitual + identificação na curva.

Passo 2

Primeiro, relembrar as grandezas básicas e suas fórmulas (para entender o que será proporcional):
  • Tensão (ou esforço) é a força por unidade de área. Define-se por \sigma:
\sigma=\frac{F}{A}
onde \(F) é a força (N) e \(A) é a área da seção (m^2). Unidade típica: \text{Pa} (ou \text{MPa}).
  • Deformação (ou alongamento relativo) é a variação de comprimento dividida pelo comprimento original. Define-se por \varepsilon:
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0}
onde \(\Delta L) é a mudança de comprimento e \(L_0) o comprimento inicial. É adimensional (às vezes expresso em %).
Entender esses dois é essencial: a curva tensão-deformação tem \sigma no eixo vertical e \varepsilon no horizontal.

Passo 3

Apresentar a relação linear inicial (Lei de Hooke) e o conceito de módulo de Young:
  • Para muitos materiais, na região inicial do ensaio de tração vale a Lei de Hooke:
\sigma = E\,\varepsilon
onde \(E) é o módulo de Young (ou módulo de elasticidade), que representa a “rigidez” do material. E tem unidade de pressão (Pa).
  • Interpretação geométrica: numa curva \sigma vs \varepsilon, essa relação é uma reta que passa pela origem com declive igual a E. Enquanto a reta descreve bem os dados, tensão e deformação são proporcionais.

Passo 4

Definição formal do “Limite de proporcionalidade”:
  • O Limite de proporcionalidade é o maior valor de tensão (ou deformação) até o qual a relação \sigma = E\,\varepsilon é válida, ou seja, até onde tensão e deformação são estritamente proporcionais.
  • Em símbolos: existe \sigma_p e \varepsilon_p tais que, para todo \varepsilon\le\varepsilon_p,
\sigma = E\,\varepsilon.
O par (\varepsilon_p,\sigma_p) marca o fim da região linear perfeita. Para \varepsilon>\varepsilon_p a curva começa a curvar e deixa de ser uma reta.

Passo 5

Como localizar o Limite de proporcionalidade na curva tensão-deformação (passo a passo para a prova):
  1. Observe a porção inicial da curva: ela costuma ser uma linha quase reta partindo da origem.
  2. Trace mentalmente (ou com régua) a reta que melhor ajusta essa porção inicial. O declive dessa reta é E.
  3. Avance ao longo da curva até o ponto em que os pontos experimentais começam a desviar visivelmente dessa reta (a curva deixa a linha). O primeiro ponto onde a curva não segue mais a reta é o Limite de proporcionalidade.
  4. Leia as coordenadas desse ponto: \varepsilon_p no eixo horizontal e \sigma_p no eixo vertical. Esses são os valores do limite de proporcionalidade.
Observação prática: por causa de ruído experimental, costuma-se usar um critério de desvio (por exemplo, a partir do momento em que a diferença entre \sigma medido e \sigma=E\varepsilon excede uma tolerância pequena) — mas em prova normalmente basta apontar o fim da região linear.

Passo 6

Diferença importante para não confundir (útil na prova):
  • Limite de proporcionalidade ≠ Limite elástico (embora às vezes coincidam):
    • Limite de proporcionalidade é sobre linearidade ( \sigma proporcional a \varepsilon).
    • Limite elástico é o maior valor em que o material retorna completamente à forma original quando a carga é retirada (comportamento reversível).
  • Também ≠ Limite de escoamento (yield), que é onde ocorre deformação plástica significativa. Em muitos materiais o limite de proporcionalidade ocorre antes do escoamento, mas a ordem e separação dependem do material.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (para fixar a ideia):
  • Suponha que para um metal o módulo de Young seja E=200\,\text{GPa}=200000\,\text{MPa}. Se a reta inicial vai até \varepsilon_p=0,0012 (isto é 0,12\%), o correspondente \sigma_p é
\sigma_p = E\,\varepsilon_p = 200000\,\text{MPa}\times 0,0012 = 240\,\text{MPa}.
Então o limite de proporcionalidade fica no ponto (\varepsilon_p=0,0012,\\ \sigma_p=240\,\text{MPa}) — esse é o ponto onde a reta para de descrever a curva. Em prova, se der E e um \varepsilon_p observado, é assim que se calcula \sigma_p.

Passo 8

Resumo prático para resposta direta em prova:
  • Defina com uma frase curta e escreva como localizar no gráfico (apontar o fim da reta inicial). Se for pedido, escreva as coordenadas \varepsilon_p e \sigma_p ou calcule \sigma_p=E\varepsilon_p.

Resposta

O Limite de proporcionalidade é o maior valor de tensão (ou deformação) até o qual tensão e deformação são estritamente proporcionais, isto é, até onde vale \sigma=E\,\varepsilon. Na curva tensão-deformação ele aparece no fim da porção linear inicial: é o ponto (\varepsilon_p,\sigma_p) onde a reta de declive E deixa de descrever a curva.

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