Defina a sequência
pondo
. Prove que (
) é decrescente e
.
Sugestão: analise a função
definida por
juntamente com a partição
Sugestão: analise a função
Passo 1
O enunciado define a sequência
ou seja,
, onde
é o
-ésimo número harmônico.
Queremos provar duas coisas:
Queremos provar duas coisas:
-
para todo . -
é decrescente, isto é, .
A sugestão é usar a função, que é decrescente em , e comparar somas parciais com integrais.
Passo 2
Provar
.
Como é decrescente em
, o somatório das áreas dos retângulos de base 1 com altura
para
é um majorante da integral de
:
Como
Logo
Portanto
Passo 3
Provar que
é decrescente.
Calcule a diferença
Calcule a diferença
Basta mostrar
Para
vale
Tomando
, obtemos
logo
, ou seja,
.
Resposta
A sequência
é sempre positiva e decrescente.