Defina a sequência a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} pondo a_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}-\log n. Prove que ( a_{n} ) é decrescente e a_{n}>0.
Sugestão: analise a função f:[1, n] \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\frac{1}{x} juntamente com a partição P=\{1,2,3, \ldots, n\} . \mathbf{1 , 5}

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} \;-\; \log n,
ou seja, a_{n} = H_{n} - \log n, onde
H_{n} = \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}
é o n-ésimo número harmônico.
Queremos provar duas coisas:
  1. a_{n}>0 para todo n\in\mathbb{N}.
  2. \bigl(a_{n}\bigr) é decrescente, isto é, a_{n+1}\le a_{n}.
    A sugestão é usar a função f(x)=1/x, que é decrescente em [1,n], e comparar somas parciais com integrais.

Passo 2

Provar a_{n}>0.
Como f(x)=1/x é decrescente em [1,n], o somatório das áreas dos retângulos de base 1 com altura f(k) para k=1,2,\dots,n-1 é um majorante da integral de f:
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} \;\ge\; \int_{1}^{n}\frac{1}{x}\,dx \;=\;\bigl[\log x\bigr]_{1}^{n} \;=\;\log n.
Logo
H_{n-1} = \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} \;\ge\;\log n \quad\Longrightarrow\quad H_{n} = H_{n-1} + \frac{1}{n} \;>\;\log n.
Portanto
a_{n} = H_{n} - \log n \;>\;0.

Passo 3

Provar que a_{n} é decrescente.
Calcule a diferença
a_{n} - a_{n+1} = \bigl(H_{n} - \log n\bigr) - \bigl(H_{n+1} - \log(n+1)\bigr) = -\frac{1}{n+1} + \bigl(\log(n+1)-\log n\bigr) = \log\!\bigl(1+\tfrac1n\bigr)\;-\;\frac{1}{n+1}.
Basta mostrar
\log\!\bigl(1+\tfrac1n\bigr)\;\ge\;\frac{1}{n+1}.
Para x> -1 vale
\log(1+x) =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt \;\ge\; \int_{0}^{x}\frac{1}{1+x}\,dt = \frac{x}{1+x}.
Tomando x=1/n, obtemos
\log\!\bigl(1+\tfrac1n\bigr) \;\ge\; \frac{(1/n)}{1+1/n} = \frac{1}{n+1},
logo a_{n}-a_{n+1}\ge0, ou seja, a_{n+1}\le a_{n}.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) é sempre positiva e decrescente.

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