Prove que o conjunto X=\{1,2,3\} \subset \mathbb{R} tem conteúdo zero. 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
X = \{1,2,3\}\subset\mathbb{R}
tem conteúdo zero. Lembrando a definição: um conjunto S\subset\mathbb{R} tem conteúdo zero se, para todo \epsilon>0, existem um número finito de intervalos abertos cuja união contém S e cuja soma dos comprimentos é menor que \epsilon.

Passo 2

Seja \epsilon>0. Vamos construir uma cobertura de X por 3 intervalos abertos de comprimentos muito pequenos. Defina
\delta = \frac{\epsilon}{6}
e, para cada i\in\{1,2,3\}, considere o intervalo aberto
I_i = \bigl(i - \delta,\;i + \delta\bigr).
Cada ponto i\in X está claramente em I_i, de modo que
X \subset I_1 \cup I_2 \cup I_3.

Passo 3

O comprimento de cada I_i é
\lvert I_i\rvert = (i+\delta) - (i-\delta) = 2\delta = 2\cdot\frac{\epsilon}{6} = \frac{\epsilon}{3}.
Portanto, a soma dos comprimentos é
\sum_{i=1}^{3}\lvert I_i\rvert = 3\cdot\frac{\epsilon}{3} = \epsilon.
Como \epsilon>0 foi arbitrário, isso prova que X tem conteúdo zero.

Resposta

O conjunto X=\{1,2,3\} tem conteúdo zero.

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