Prove que o conjunto
tem conteúdo zero. 1
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
tem conteúdo zero. Lembrando a definição: um conjunto
tem conteúdo zero se, para todo
, existem um número finito de intervalos abertos cuja união contém
e cuja soma dos comprimentos é menor que
.
Passo 2
Seja
. Vamos construir uma cobertura de
por 3 intervalos abertos de comprimentos muito pequenos. Defina
e, para cada
, considere o intervalo aberto
Cada ponto
está claramente em
, de modo que
Passo 3
O comprimento de cada
é
Portanto, a soma dos comprimentos é
Como
foi arbitrário, isso prova que
tem conteúdo zero.
Resposta
O conjunto
tem conteúdo zero.