Defina variável aleatória discreta: v.a.d. (pesquise exemplo na sua área).
Passo 1
O que o enunciado pede: definir o que é uma variável aleatória discreta (v.a.d.) e dar um exemplo prático na área (ex.: engenharia/estatística).
Informações dadas: não há dados numéricos nem figura — apenas a solicitação da definição e exemplo.
Informações dadas: não há dados numéricos nem figura — apenas a solicitação da definição e exemplo.
Passo 2
Definição formal (sem complicar): uma variável aleatória discreta é uma função que atribui números a resultados aleatórios, mas que só pode assumir um conjunto contável de valores.
Mais precisamente: seja o espaço amostral (conjunto de resultados possíveis de um experimento). Uma variável aleatória
é discreta se o conjunto
Mais precisamente: seja
é finito ou numerável (contável). Esse conjunto chama-se suporte de
. Não precisa decorar: o ponto-chave é “assume valores isolados, contáveis (0,1,2,3,…)”, em vez de “qualquer valor num intervalo” (que seria contínua).
Passo 3
A forma prática de trabalhar com v.a.d. é via função massa de probabilidade (pmf). Definimos a pmf de
por
Propriedades da pmf:
- Para todo
, . - Somando as probabilidades em todos os valores possíveis obtemos 1:
- Para qualquer subconjunto
de valores possíveis,
Essas são as ferramentas que você vai usar numa prova para calcular probabilidades com v.a.d.
Passo 4
Função de distribuição acumulada (CDF) para v.a.d.:
No caso discreto, a CDF é uma função em degraus: ela aumenta somente nos pontos do suporte.
Passo 5
Esperança e variância (fórmulas e interpretação):
- Esperança (valor médio):
Interpretação: média ponderada dos valores possíveis, pesos dados pelas probabilidades.
- Variância:
Alternativamente use
, onde
.
Dica prática: calcule primeiro, depois
para achar a variância sem muita álgebra repetida.
Dica prática: calcule
Passo 6
Exemplo clássico e muito usado em engenharia/estatística: v.a.d. Binomial — modela “número de peças defeituosas numa amostra de tamanho
”, quando cada peça tem probabilidade
de ser defeituosa e os ensaios são independentes.
Definição: com suporte
e
Definição:
Significado das letras:
é o número de maneiras de escolher
sucessos em
tentativas;
é probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 7
Exemplo numérico passo a passo (para ver na prática como usar a pmf e as fórmulas): suponha
e
. Queremos
,
e
para
.
- Calcule
. - Use a pmf:
- Esperança (fórmula conhecida para Binomial):
- Variância (fórmula conhecida para Binomial):
Esses cálculos mostram como operar sem calculadora usando frações e combinações — sempre tente escolher representações que simplifiquem as contas se puder (frações simples, números pequenos).
Passo 8
Como reconhecer v.a.d. em questões de prova (dicas rápidas):
- Se a variável conta coisas (número de falhas, número de sucessos, número de eventos), é quase sempre discreta.
- Se a variável pode assumir qualquer valor num intervalo contínuo (tempo contínuo, comprimento com precisão infinita), é contínua — cuidado com “tempo contado em segundos”, às vezes modelamos como discreto por simplificação.
- Verifique se o enunciado fornece uma pmf explícita (aí é discreta).
Passo 9
Principais distribuições discretas que caem em provas e quando usar:
- Bernoulli:
, sucesso/falha. - Binomial: número de sucessos em
ensaios independentes. - Geométrica: número de ensaios até o primeiro sucesso.
- Poisson: conta de eventos raros por unidade (tempo/área) — útil em engenharia de filas e confiabilidade.
- Hipergeométrica: número de sucessos sem reposição (amostragem sem reposição).
Decore a forma da pmf, a esperança e a variância de cada uma — na prova isso salva tempo.
Passo 10
Resumo prático e motivação final: pense em v.a.d. como “variáveis que contam coisas” e trabalhe sempre com a pmf
. Para resolver questões, identifique o suporte, escreva a pmf, verifique soma igual a 1, e aplique somas (para probabilidades cumulativas), ou as fórmulas de
e
. Você consegue — faça exercícios de Binomial/Poisson/Bernoulli que o professor indicou e repita esses passos em cada exercício. Força aí, você chega lá!
Resposta
Uma variável aleatória discreta é uma variável aleatória
cuja imagem (conjunto de valores com
) é finita ou numerável; ela é descrita por uma função massa de probabilidade
com
.
Exemplo (área de engenharia/estatística): número de peças defeituosas numa amostra de peças, modelado por
com
.
Exemplo (área de engenharia/estatística): número de peças defeituosas numa amostra de