Uma seguradora paga \mathrm{R} \ 30.000,00 em caso de acidente de carro e cobra uma taxa de1.500,00$. Sabe-se que a probabilidade de que o carro sofra acidente é 0,03 (considere em 100 carros). Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado?

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular quanto a seguradora espera ganhar, em média, por cada carro segurado.\n
Informações dadas:
  • A seguradora cobra um prêmio de \mathrm{R}\$\,1.500,00 por carro.
  • Em caso de acidente paga \mathrm{R}\$\,30.000,00.
  • A probabilidade de acidente é \,0,03 (ou seja, em 100 carros espera-se 3 acidentes).
  • Queremos o ganho esperado por carro segurado (valor médio que a seguradora obtém por um único contrato).

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o ganho (lucro) da seguradora por um carro segurado. X tem dois valores possíveis:
  • Se ocorre acidente: a seguradora recebe o prêmio e paga o sinistro. Então
X = \mathrm{R}\$\,1.500,00 - \mathrm{R}\$\,30.000,00 = \mathrm{R}\$\,(-28.500,00).
  • Se não ocorre acidente: a seguradora recebe o prêmio e não paga nada. Então
X = \mathrm{R}\$\,1.500,00.

Passo 3

Explicando o conceito usado: o valor esperado (esperança matemática) de uma variável aleatória discreta é a média ponderada dos seus valores possíveis, cada um ponderado pela sua probabilidade. Em fórmula:
\mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\cdot P(X=x_i),
onde x_i são os valores possíveis de X e P(X=x_i) as respectivas probabilidades. Aqui temos apenas dois valores, então a soma tem dois termos.

Passo 4

As probabilidades são:
P(\text{acidente})=0,03,\qquad P(\text{sem acidente})=1-0,03=0,97.

Passo 5

Aplicando a fórmula da esperança para os dois casos:
\mathbb{E}[X]=(\mathrm{R}\$\,(-28.500,00))\cdot 0,03 + (\mathrm{R}\$\,1.500,00)\cdot 0,97.
Calculando cada termo separadamente (mostrando as contas):
(\mathrm{R}\$\,(-28.500,00))\cdot 0,03 = \mathrm{R}\$\,(-855,00),
(\mathrm{R}\$\,1.500,00)\cdot 0,97 = \mathrm{R}\$\,1.455,00.
Somando:
\mathbb{E}[X]=\mathrm{R}\$\,(-855,00)+\mathrm{R}\$\,1.455,00=\mathrm{R}\$\,600,00.

Passo 6

Checagem alternativa (intuitiva usando 100 carros): em 100 contratos espera-se 3 acidentes. Pagamentos de sinistros: 3\times\mathrm{R}\$\,30.000,00=\mathrm{R}\$\,90.000,00. Receita de prêmios: 100\times\mathrm{R}\$\,1.500,00=\mathrm{R}\$\,150.000,00. Lucro total esperado: \mathrm{R}\$\,150.000,00-\mathrm{R}\$\,90.000,00=\mathrm{R}\$\,60.000,00. Por carro isso dá \mathrm{R}\$\,60.000,00/100=\mathrm{R}\$\,600,00, confirmando o resultado anterior. Boa! Isso quer dizer que, em média, a seguradora espera ganhar \mathrm{R}\$\,600,00 por carro.

Resposta

\mathrm{R}\$\,600,00

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