Define-se um tensor A com componentes
A_{i j}=a_{i j}
e considera-se que
\vec{C}^{\prime}=\mathbf{A} \cdot \vec{C}, \quad \vec{C}=\mathbf{A}^{t} \cdot \vec{C}^{\prime}
Assim, as eqs. (25) podem ser interpretadas alternativamente como o resultado da atuação dos tensores \mathbf{A} e \mathbf{A}^{t} sobre os vetores \vec{C} e \vec{C}^{\prime}, respectivamente. Na interpretação original das eqs. (25), c_{j} e c_{i}^{\prime} são os componentes do mesmo vetor \vec{C} em dois sistemas de coordenadas diferentes. Em uma interpretação alternativa, c_{j} e c_{i}^{\prime} são os componentes de dois vetores diferentes \vec{C} e \vec{C}^{\prime} no mesmo sistema de coordenadas. De maneira similar, se os eixos com linha coincidirem inicialmente com os eixos sem linha, pode-se interpretar o tensor A como uma transformação de um sistema de coordenadas para outro. Alternativamente, pode-se interpretar A como o tensor que representa a operação de rotação de um corpo rígido a partir de uma posição inicial para a atual. Assim, um vetor fixo no corpo e coincidindo inicialmente com \vec{C} girará de forma a coincidir \operatorname{com} \vec{C}^{\prime}=\mathbf{A} \cdot \vec{C}. Mostre que
\mathbf{A}^{t} \cdot \mathbf{A}=\mathbf{1}
Um tensor que possui essas propriedades é chamado ortogonal. A eq. (33) corresponde às eqs. (30) para os componentes a_{i j}. Similarmente, as eqs. (27) podem ser escritas, nessa nova interpretação, como \mathbf{T}=\mathbf{A}^{t} \cdot \mathbf{T}^{\prime} \cdot \mathbf{A} e \mathbf{T}^{\prime}=\mathbf{A} \cdot \mathbf{T} \cdot \mathbf{A}^{t}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • É definido um tensor \mathbf{A} cujos componentes são A_{i j}=a_{i j}.
  • Temos as duas relações entre os vetores \vec{C} e \vec{C}^{\prime}: \vec{C}^{\prime}=\mathbf{A}\cdot\vec{C},
\vec{C}=\mathbf{A}^{t}\cdot\vec{C}^{\prime}.
  • A pergunta a ser respondida é: mostre que \mathbf{A}^{t}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{1}.
Listei todas as informações relevantes e o que é pedido; agora começamos a resolver.

Passo 2

Vamos escrever as duas relações em componentes para entender direitinho o que elas significam. Seja \vec{C} com componentes c_j e \vec{C}^{\prime} com componentes c_i'. A primeira relação \vec{C}^{\prime}=\mathbf{A}\cdot\vec{C} em componentes fica:
c_i'=\sum_{j} a_{i j}\,c_j.
A segunda relação \vec{C}=\mathbf{A}^{t}\cdot\vec{C}^{\prime} em componentes fica (usando (\mathbf{A}^{t})_{ji}=a_{i j}):
c_j=\sum_{i} a_{i j}\,c_i'.
Repare que aqui explicitei cada índice e a soma, para não pular etapas.

Passo 3

Agora fazemos uma substituição direta: colocamos a expressão de c_j (segunda equação) dentro da primeira equação. Isso é válido porque as expressões relacionam os mesmos c' e c. Começando de
\vec{C}^{\prime}=\mathbf{A}\cdot\vec{C},
substituímos \vec{C}=\mathbf{A}^{t}\cdot\vec{C}^{\prime} para obter
\vec{C}^{\prime}=\mathbf{A}\cdot(\mathbf{A}^{t}\cdot\vec{C}^{\prime}).
Pela associatividade do produto matricial isso é
\vec{C}^{\prime}=(\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{t})\cdot\vec{C}^{\prime}.

Passo 4

A igualdade \vec{C}^{\prime}=(\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{t})\cdot\vec{C}^{\prime} vale para todo vetor \vec{C}^{\prime} possível (não foi imposta nenhuma restrição aos vetores). Uma matriz \mathbf{M} que satisfaz
\mathbf{M}\cdot\vec{v}=\vec{v}\quad\text{para todo vetor }\vec{v}
é necessariamente a matriz identidade \mathbf{1}. Uma maneira limpa de ver isso é aplicar a igualdade aos vetores da base canônica \{\mathbf{e}_j\}: se \mathbf{M}\mathbf{e}_j=\mathbf{e}_j para todo j, então cada coluna j de \mathbf{M} é exatamente \mathbf{e}_j, logo \mathbf{M}=\mathbf{1}. Aplicando isso ao caso em que \mathbf{M}=\mathbf{A}\mathbf{A}^{t} obtemos
\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}^{t}=\mathbf{1}.

Passo 5

Fazendo a outra substituição (agora substituindo \vec{C}^{\prime}=\mathbf{A}\cdot\vec{C} na segunda relação) obtemos simetricamente
\vec{C}=\mathbf{A}^{t}\cdot(\mathbf{A}\cdot\vec{C})=(\mathbf{A}^{t}\cdot\mathbf{A})\cdot\vec{C},
e pelo mesmo argumento que o produto aplicado a todo \vec{C} deixa \vec{C} inalterado, concluímos
\mathbf{A}^{t}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{1}.

Passo 6

Vamos escrever essa condição em forma de componentes para ver o que ela significa elemento a elemento. Os elementos de \mathbf{A}^{t}\cdot\mathbf{A} são
(\mathbf{A}^{t}\mathbf{A})_{i j}=\sum_{k}(\mathbf{A}^{t})_{i k}\,A_{k j}=\sum_{k} a_{k i}\,a_{k j}.
Como \mathbf{A}^{t}\mathbf{A}=\mathbf{1}, isso implica
\sum_{k} a_{k i}\,a_{k j}=\delta_{i j},
onde \delta_{i j} é o delta de Kronecker: \delta_{i j}=1 se i=j e \delta_{i j}=0 se i\neq j. Essa igualdade diz que as colunas de \mathbf{A} são vetores ortonormais entre si (produto interno entre coluna i e coluna j é \delta_{ij}). Do outro lado, a relação \mathbf{A}\mathbf{A}^{t}=\mathbf{1} dá a ortonormalidade das linhas.

Passo 7

Uma consequência prática e muito usada: a igualdade \mathbf{A}^{t}\mathbf{A}=\mathbf{1} significa que \mathbf{A}^{t}=\mathbf{A}^{-1}. Em palavras: a transposta de \mathbf{A} é a sua inversa. É isso que caracteriza um tensor/matriz ortogonal — exatamente o tipo de transformação que representa rotações ou trocas de base que preservam produtos escalares e normas.

Passo 8

Considere uma rotação no plano de ângulo \theta:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
A transposta é
\mathbf{A}^{t}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\[4pt] -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.
Multiplicando,
\mathbf{A}^{t}\mathbf{A}= \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\[4pt] -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}=\mathbf{1},
o que confirma na prática que uma rotação é representada por uma matriz ortogonal.]

Resposta

\mathbf{A}^{t}\cdot\mathbf{A}=\mathbf{1}

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