Define-se um tensor A com componentes
e considera-se que
Assim, as eqs. (25) podem ser interpretadas alternativamente como o resultado da atuação dos tensores
e
sobre os vetores
e
, respectivamente. Na interpretação original das eqs. (25),
e
são os componentes do mesmo vetor
em dois sistemas de coordenadas diferentes. Em uma interpretação alternativa,
e
são os componentes de dois vetores diferentes
e
no mesmo sistema de coordenadas. De maneira similar, se os eixos com linha coincidirem inicialmente com os eixos sem linha, pode-se interpretar o tensor A como uma transformação de um sistema de coordenadas para outro. Alternativamente, pode-se interpretar A como o tensor que representa a operação de rotação de um corpo rígido a partir de uma posição inicial para a atual. Assim, um vetor fixo no corpo e coincidindo inicialmente com
girará de forma a coincidir
. Mostre que
Um tensor que possui essas propriedades é chamado ortogonal. A eq. (33) corresponde às eqs. (30) para os componentes
. Similarmente, as eqs. (27) podem ser escritas, nessa nova interpretação, como
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- É definido um tensor
cujos componentes são . - Temos as duas relações entre os vetores
e :
- A pergunta a ser respondida é: mostre que
Listei todas as informações relevantes e o que é pedido; agora começamos a resolver.
Passo 2
Vamos escrever as duas relações em componentes para entender direitinho o que elas significam. Seja
com componentes
e
com componentes
. A primeira relação
em componentes fica:
A segunda relação
em componentes fica (usando
):
Repare que aqui explicitei cada índice e a soma, para não pular etapas.
Passo 3
Agora fazemos uma substituição direta: colocamos a expressão de
(segunda equação) dentro da primeira equação. Isso é válido porque as expressões relacionam os mesmos
e
. Começando de
substituímos
para obter
Pela associatividade do produto matricial isso é
Passo 4
A igualdade
vale para todo vetor
possível (não foi imposta nenhuma restrição aos vetores). Uma matriz
que satisfaz
é necessariamente a matriz identidade
. Uma maneira limpa de ver isso é aplicar a igualdade aos vetores da base canônica
: se
para todo
, então cada coluna
de
é exatamente
, logo
. Aplicando isso ao caso em que
obtemos
Passo 5
Fazendo a outra substituição (agora substituindo
na segunda relação) obtemos simetricamente
e pelo mesmo argumento que o produto aplicado a todo
deixa
inalterado, concluímos
Passo 6
Vamos escrever essa condição em forma de componentes para ver o que ela significa elemento a elemento. Os elementos de
são
Como
, isso implica
onde
é o delta de Kronecker:
se
e
se
. Essa igualdade diz que as colunas de
são vetores ortonormais entre si (produto interno entre coluna
e coluna
é
). Do outro lado, a relação
dá a ortonormalidade das linhas.
Passo 7
Uma consequência prática e muito usada: a igualdade
significa que
. Em palavras: a transposta de
é a sua inversa. É isso que caracteriza um tensor/matriz ortogonal — exatamente o tipo de transformação que representa rotações ou trocas de base que preservam produtos escalares e normas.
Passo 8
Considere uma rotação no plano de ângulo
:
A transposta é
Multiplicando,
o que confirma na prática que uma rotação é representada por uma matriz ortogonal.]