Dado um tensor
, pode-se definir uma grandeza escalar chamada traço de
como
Mostre que o traço de
é o mesmo em todos os sistemas de coordenadas (invariante), ou seja, mostre que
. Dica: Os componentes de
e
estão relacionados pela eq. (27),
. Outra grandeza escalar invariante associada a um tensor é o determinante,
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Definição do traço:
. - Relação entre os componentes nas duas bases (dada pela dica):
. - O que nos pedem: mostrar que a soma das componentes diagonais é a mesma nas duas bases, isto é, provar que
Passo 2
Primeiro vamos escrever explicitamente a traço de
usando a definição:
Aqui troquei o índice de soma para
por questão de nitidez (é só um índice de somatório).
Passo 3
Agora substituo na expressão acima a relação dada para os componentes
, tomando
:
Portanto
Passo 4
Reorganizo as somas trocando a ordem (permitido porque são somas finitas):
Agora o fator entre parênteses é muito importante; vou explicar o que ele vale.
Passo 5
Os coeficientes
são os cossenos diretores (ou os elementos da matriz de mudança de base entre duas bases ortonormais). Isso significa que a matriz
é ortogonal, ou seja,
. Em componentes essa condição é
onde
é o delta de Kronecker, que vale
se
e
se
. Intuitivamente isso vem do fato de que as colunas (ou linhas) da matriz de rotação são vetores unitários e mutuamente ortogonais.
Passo 6
Substituindo a identidade do passo anterior na expressão da traço obtemos
O delta de Kronecker “casa” os índices
e
, reduzindo a dupla soma a uma soma única sobre os termos diagonais:
Passo 7
Mas a soma do lado direito é exatamente a definição da traço de
. Logo chegamos à igualdade desejada:
Comentário rápido e amigo: isso mostra que a traço é uma grandeza escalar associada ao tensor — não depende da base escolhida. Se você quiser, uma maneira alternativa (mais linear-algebraica) é notar que a transformação de componentes corresponde a uma conjugação por matriz ortogonal e usar a propriedade
, mas a demonstração por índices que fiz é direta e segura para prova.