Definição Os eventos e_{i}, i=1,2, \ldots, n são equiprováveis quando P\left(e_{1}\right)=P\left(e_{2}\right)=\ldots=P\left(e_{n}\right)=p. Isto é, quando todos possuem a mesma probabilidade de ocorrer. Dessa forma, se os n pontos amostrais(eventos) são equiprováveis, a probabilidade de cada um dos pontos amostrais é \frac{1}{n}
E se supormos A \subset \Omega com k elementos ou pontos amostrais: teremos que
P(A)=\frac{k}{n}, \quad k \leq n

Passo 1

O enunciado define que temos um espaço amostral \Omega com n pontos amostrais e_{1},e_{2},\ldots,e_{n} todos equiprováveis, ou seja,
P(e_{i}) = p \quad\text{para todo }i=1,2,\ldots,n.
Como a soma das probabilidades de todos os pontos amostrais deve ser 1, segue que
n\,p = 1 \quad\Longrightarrow\quad p = \frac{1}{n}.
Em seguida, queremos calcular a probabilidade de um evento A\subset\Omega que contém exatamente k desses pontos amostrais.

Passo 2

Note que o evento A pode ser escrito como união disjunta dos seus k pontos amostrais:
A = \{e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_k}\},
com e_{i_j}\neq e_{i_\ell} sempre que j\neq\ell.

Passo 3

Pela aditividade finita de probabilidade, como esses k pontos são mutuamente exclusivos,
P(A) = P(e_{i_1}\,\cup\,e_{i_2}\,\cup\cdots\cup\,e_{i_k}) = \sum_{j=1}^{k} P(e_{i_j}).
Mas cada P(e_{i_j})=\frac{1}{n}, pois são equiprováveis.

Passo 4

Substituindo na soma,
P(A) = \sum_{j=1}^{k} \frac{1}{n} = k \cdot \frac{1}{n} = \frac{k}{n}.

Resposta

P(A) = \frac{k}{n}.

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