(a) Qual é a definição matemática de viscosidade em função da tensão de cisalhamento e também em função da temperatura? Explique a influência de cada parâmetro da equação. (b) Esquematize o comportamento da viscosidade em função da temperatura.

Passo 1

Beleza, primeiro vamos entender o que o exercício pede:
  • (a) Você quer saber a “definição matemática de viscosidade” em dois jeitos: uma envolvendo tensão de cisalhamento e outra envolvendo temperatura. Além disso, quer que a gente fale como cada parâmetro da fórmula afeta a viscosidade.
  • (b) Depois, quer um esquema (gráfico simplificado) de como a viscosidade varia conforme a temperatura.
Conteúdo: Rheologia de fluidos (viscosidade). Preciso usar a Lei de Newton da viscosidade e a dependência do tipo Arrhenius para temperatura.

Passo 2

Definição da viscosidade a partir da tensão de cisalhamento
  1. Em fluxos “newtonianos”, a tensão de cisalhamento τ (tau) é proporcional à taxa de deformação (ou taxa de cisalhamento) tau = mu ,dotgamma .
  2. A constante de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica μ (mu).
  3. Matemático: mu = taudotgamma Logo, isolando μ:
  4. O que isso significa?
    • τ (Pa) : força “empurrando” camadas de fluido umas contra as outras.
    • (s⁻¹): quão rápido essas camadas deslizam.
    • μ (Pa·s): mede a “resistência interna” do fluido. Quanto maior μ, mais difícil é fazer o fluido fluir.

Passo 3

Dependência da viscosidade com a temperatura
  1. Na prática, a viscosidade de líquidos muda bastante com T. Para muitos fluidos, vale uma relação do tipo Arrhenius ou Andrade: mu(T) = A ,exp!l(EaR,Tr) Onde:
    • : fator pré-exponencial (depende do fluido).
    • : energia de ativação da fluidez (J/mol).
    • : constante dos gases (8,314 J/(mol·K)).
    • : temperatura absoluta (K).
  2. Influência dos parâmetros:
    • Quanto maior , mais sensível a viscosidade é a mudanças de T.
    • Se é grande, o “nível básico” de μ já começa elevado.
    • À medida que sobe, o expoente cai, e diminui.

Passo 4

Esquematizando μ versus T
Imagine um gráfico com:
  • Eixo x = temperatura T (K), crescente para a direita.
  • Eixo y = viscosidade μ (Pa·s), decrescente para baixo.
O desenho é tipo uma curva que cai rápido no começo e depois vai achatando. Algo assim:
μ │\
  | \
  |  \
  |   \
  |    \________  
0 └──────────────── T  
Isso mostra: temperatura ↑ ⇒ viscosidade ↓ (decresce exponencialmente).

Resposta

(a) A viscosidade dinâmica é definida por
mu = taudotgamma
para escoamentos newtonianos, e varia com a temperatura segundo
mu(T) = A ,exp!l(EaR,Tr),
onde é o fator pré-exponencial e a energia de ativação de fluidez.
(b) No gráfico μ versus T, a curva cai de forma exponencial: quanto mais quente, menor a viscosidade.

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