(a) Qual é a definição matemática de viscosidade em função da tensão de cisalhamento e também em função da temperatura? Explique a influência de cada parâmetro da equação. (b) Esquematize o comportamento da viscosidade em função da temperatura.
Passo 1
Beleza, primeiro vamos entender o que o exercício pede:
- (a) Você quer saber a “definição matemática de viscosidade” em dois jeitos: uma envolvendo tensão de cisalhamento e outra envolvendo temperatura. Além disso, quer que a gente fale como cada parâmetro da fórmula afeta a viscosidade.
- (b) Depois, quer um esquema (gráfico simplificado) de como a viscosidade varia conforme a temperatura.
Conteúdo: Rheologia de fluidos (viscosidade). Preciso usar a Lei de Newton da viscosidade e a dependência do tipo Arrhenius para temperatura.
Passo 2
Definição da viscosidade a partir da tensão de cisalhamento
- Em fluxos “newtonianos”, a tensão de cisalhamento τ (tau) é proporcional à taxa de deformação (ou taxa de cisalhamento)
. - A constante de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica μ (mu).
- Matemático:
Logo, isolando μ: - O que isso significa?
- τ (Pa) : força “empurrando” camadas de fluido umas contra as outras.
-
(s⁻¹): quão rápido essas camadas deslizam. - μ (Pa·s): mede a “resistência interna” do fluido. Quanto maior μ, mais difícil é fazer o fluido fluir.
Passo 3
Dependência da viscosidade com a temperatura
- Na prática, a viscosidade de líquidos muda bastante com T. Para muitos fluidos, vale uma relação do tipo Arrhenius ou Andrade:
Onde: -
: fator pré-exponencial (depende do fluido). -
: energia de ativação da fluidez (J/mol). -
: constante dos gases (8,314 J/(mol·K)). -
: temperatura absoluta (K).
-
- Influência dos parâmetros:
- Quanto maior
, mais sensível a viscosidade é a mudanças de T. - Se
é grande, o “nível básico” de μ já começa elevado. - À medida que
sobe, o expoente cai, e diminui.
- Quanto maior
Passo 4
Esquematizando μ versus T
Imagine um gráfico com:
Imagine um gráfico com:
- Eixo x = temperatura T (K), crescente para a direita.
- Eixo y = viscosidade μ (Pa·s), decrescente para baixo.
O desenho é tipo uma curva que cai rápido no começo e depois vai achatando. Algo assim:
μ │\
| \
| \
| \
| \________
0 └──────────────── T
Isso mostra: temperatura ↑ ⇒ viscosidade ↓ (decresce exponencialmente).
Resposta
(a) A viscosidade dinâmica é definida por
para escoamentos newtonianos, e varia com a temperatura segundo
onde
é o fator pré-exponencial e
a energia de ativação de fluidez.
(b) No gráfico μ versus T, a curva cai de forma exponencial: quanto mais quente, menor a viscosidade.