4. DEFINIÇÃO DE POTÊNCIAS INTEIRAS DE UM NÚMERO

(a) Dados um número real a e um número inteiro positivo n, define-se a n-ésima potência de a como o produto de n fatores iguais a a :
a^{n}=a \cdot a \cdot a \cdots a .
O próximo passo da definição é estendê-la para potências negativas a^{-n} de números reais a \neq 0, de modo que a propriedade a^{n+m}=a^{n} \cdot a^{m} valha para potências quaisquer de números inteiros m e n. Dessa forma, como definir a^{-n}, a^{0} e a^{n-m} ? Justifique cada uma de suas respostas.
(b) Dê uma razão para que se defina as seguintes potências racionais de um número (considere os casos quando a definição é possível):
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \text { e } a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • (a) Estender a definição de potências inteiras de forma que a propriedade
a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}
valha para quaisquer inteiros m,n. Em particular, definir e justificar as formas de \,a^{-n},\;a^{0} e \,a^{n-m}.
  • (b) Justificar por que faz sentido definir potências racionais por
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\qquad\text{e}\qquad a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}},
especificando quando essas definições são possíveis (restrições sobre a e o índice).
Informações dadas que usaremos:
  • A definição inicial: para inteiro positivo n,
a^{n}=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\quad(\text{\(n\) fatores}).
  • Deseja-se preservar a propriedade \,a^{n+m}=a^{n}a^{m}\, para todos os inteiros.

Passo 2

Por que precisamos pensar em a^{0} e a^{-n}?
Vamos olhar a propriedade que já é verdadeira para expoentes positivos:
a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}\quad\text{quando \(n,m\) são inteiros positivos.}ã
Queremos que essa fórmula continue valendo quando m ou n forem 0 ou negativos. Por exemplo, tomar m=0
a^{n+0}=a^{n}\cdot a^{0}.
O lado esquerdo é simplesmente a^{n}. Para que a igualdade seja verdadeira para todo n, é necessário que a^{0} seja o número que multiplicado por a^{n} deixa a^{n} inalterado — esse número é 1. Assim a definição natural (e necessária para consistência) é
a^{0}=1.
Observação sobre o caso a=0: 0^{0} é uma expressão ambígua e, na maioria dos contextos elementares, não se define 0^{0}. Portanto, ao afirmar a^{0}=1 assumimos a\ne0 ou então explicitamos que 0^{0} não é definido.

Passo 3

Definição e justificativa de a^{-n}.
Use a propriedade com m=-n:
a^{n+(-n)}=a^{n}\cdot a^{-n}.
O lado esquerdo é a^{0}, que pela definição do Passo 2 vale 1. Assim
1=a^{0}=a^{n}\cdot a^{-n}.
Isolando a^{-n} obtemos
a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},
desde que a\ne0 (para poder dividir por a^{n}). Essa definição garante exatamente que a lei a^{n+m}=a^{n}a^{m} continue válida quando um dos expoentes for negativo. Exemplos numéricos simples:
  • 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.
  • 5^{-1}=\dfrac{1}{5}.

Passo 4

Definição e justificativa de a^{n-m}.
A expressão a^{n-m} deve obedecer à lei dos expoentes. Pela identidade geral queremos que
a^{n-m}=a^{n}\cdot a^{-m}.
Usando a definição do Passo 3 de a^{-m} obtemos a forma prática e familiar
a^{n-m}=\frac{a^{n}}{a^{m}},
novamente desde que, quando necessário, a\ne0 para que a divisão faça sentido. Isso cobre todos os casos:
  • Se n\ge m, o expoente n-m é não negativo e a expressão é um produto de n-m fatores a.
  • Se n<m, então n-m é negativo e a definição coincide com a^{n-m}=1/a^{m-n}.
Exemplos:
  • 3^{2-5}=3^{-3}=\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{1}{27}.
  • 7^{5-2}=7^{3}=343.

Passo 5

Resumo das definições inteiras (com domínio):
  • Para n inteiro positivo, \,a^{n} é o produto de n fatores a (definição inicial).
  • Para a\ne0, \,a^{0}=1.
  • Para a\ne0 e n>0, \,a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}.
  • Para inteiros n,m, \,a^{n-m}=\dfrac{a^{n}}{a^{m}} (com a condição a\ne0 se fizer divisão por a^{m}).
Essas escolhas são as únicas naturais que mantêm coerente a regra básica \,a^{r+s}=a^{r}a^{s} para todos os inteiros r,s.

Passo 6

Por que definir potências racionais dessa forma? (ideia principal)
Queremos estender a propriedade dos expoentes para expoentes racionais também. Em particular, é desejável que, para um inteiro n>0,
\bigl(a^{1/n}\bigr)^{n}=a.
Essa igualdade nos leva a definir a^{1/n} como uma raiz n-ésima de a: a escolha natural é
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a},
ou seja, o número cujo n-ésimo poder é a. Esta definição satisfaz \bigl(a^{1/n}\bigr)^{n}=a por construção.
Importante: existem restrições para que \sqrt[n]{a} seja um número real:
  • Se n é ímpar, então \sqrt[n]{a} existe como número real para todo a\in\mathbb{R} (ex.: \sqrt[3]{-8}=-2).
  • Se n é par, a raiz n-ésima real existe apenas para a\ge0; além disso, por convenção usa-se a raiz principal não negativa (por exemplo \sqrt{4}=2, não -2).

Passo 7

Definição de a^{p/q} e justificativa.
Para racionais \dfrac{p}{q} (com q>0 inteiro), faz sentido definir
a^{\frac{p}{q}}=\bigl(a^{1/q}\bigr)^{p}=\sqrt[q]{a^{p}}.
Justificativa: com essa definição tem-se imediatamente
\bigl(a^{p/q}\bigr)^{q}=a^{p},
o que é a propriedade que desejávamos estender. Também essa definição é coerente com as regras já estabelecidas para inteiros: por exemplo,
a^{r}a^{s}=a^{r+s}\quad\text{e}\quad\bigl(a^{r}\bigr)^{s}=a^{rs}
continuam válidas quando r,s são racionais (sempre respeitando as restrições de existência das raízes).
Restrições de domínio e observações:
  • Se q é par, é necessário que a^{p}\ge0 para que \sqrt[q]{a^{p}} seja real; na prática isso exige a\ge0 sempre que se queira um resultado real e q par.
  • Se q é ímpar, \sqrt[q]{a^{p}} existe como real para qualquer a.
  • Quando a>0, todas as potências a^{r} com r\in\mathbb{Q} estão bem definidas e obedecem às leis usuais dos expoentes.
  • Quando a<0 e a fração \dfrac{p}{q} tem q par, a^{p/q} não é real (ficaria complexo); se q for ímpar, pode-se ter a^{p/q} real (ex.: (-8)^{2/3} = \bigl(\sqrt[3]{-8}\bigr)^{2} = (-2)^{2}=4).

Passo 8

Verificação de consistência com exemplos práticos (sem calculadora, à mão):
  • Inteiro: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.
  • Zero: 5^{0}=1.
  • Diferença de expoentes: 3^{2-5}=3^{-3}=\dfrac{1}{27}.
  • Racional simples: 4^{1/2}=\sqrt{4}=2.
  • Racional com numerador: 16^{3/4}=\bigl(\sqrt[4]{16}\bigr)^{3}=2^{3}=8.
  • Raiz ímpar de negativo: (-27)^{1/3}=\sqrt[3]{-27}=-3.
Esses exemplos mostram que as definições propostas são naturais e mantêm coerência entre as regras de potência.

Passo 9

Conclusão rápida e motivacional (um empurrãozinho): definimos expoentes nulos, negativos e racionais de modo a preservar as leis dos expoentes que já existiam para expoentes positivos. Isso garante que as manipulações algébricas com potências sejam consistentes — e é por isso que, na prova, quando vir algo como a^{-2} ou a^{3/5}, você poderá traduzir para fração ou raiz e calcular sem medo. Força aí — essas regras são só “hábitos” para decorar e aplicar com calma nos exercícios.

Resposta

(a) a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}} (para a\ne0); \;a^{0}=1 (para a\ne0; 0^{0} não é definido); \;a^{n-m}=\dfrac{a^{n}}{a^{m}} (com a\ne0 quando haja divisão).
(b) a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} (definido como raiz n-ésima real: se n par exige-se a\ge0; se n ímpar qualquer a real); \;a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^{p}}=(a^{1/q})^{p} (definido quando a raiz \sqrt[q]{a^{p}} existe como número real; escolher a raiz principal para índices pares).

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