4. DEFINIÇÃO DE POTÊNCIAS INTEIRAS DE UM NÚMERO
(a) Dados um número real
e um número inteiro positivo
, define-se a
-ésima potência de
como o produto de
fatores iguais a
:
O próximo passo da definição é estendê-la para potências negativas
de números reais
, de modo que a propriedade
valha para potências quaisquer de números inteiros
e
. Dessa forma, como definir
e
? Justifique cada uma de suas respostas.
(b) Dê uma razão para que se defina as seguintes potências racionais de um número (considere os casos quando a definição é possível):
(b) Dê uma razão para que se defina as seguintes potências racionais de um número (considere os casos quando a definição é possível):
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- (a) Estender a definição de potências inteiras de forma que a propriedade
valha para quaisquer inteiros
. Em particular, definir e justificar as formas de
e
.
- (b) Justificar por que faz sentido definir potências racionais por
especificando quando essas definições são possíveis (restrições sobre
e o índice).
Informações dadas que usaremos:
- A definição inicial: para inteiro positivo
,
- Deseja-se preservar a propriedade
para todos os inteiros.
Passo 2
Por que precisamos pensar em
e
?
Vamos olhar a propriedade que já é verdadeira para expoentes positivos:
Vamos olhar a propriedade que já é verdadeira para expoentes positivos:
Queremos que essa fórmula continue valendo quando
ou
forem
ou negativos. Por exemplo, tomar
dá
O lado esquerdo é simplesmente
. Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, é necessário que
seja o número que multiplicado por
deixa
inalterado — esse número é
. Assim a definição natural (e necessária para consistência) é
Observação sobre o caso
:
é uma expressão ambígua e, na maioria dos contextos elementares, não se define
. Portanto, ao afirmar
assumimos
ou então explicitamos que
não é definido.
Passo 3
Definição e justificativa de
.
Use a propriedade com :
Use a propriedade com
O lado esquerdo é
, que pela definição do Passo 2 vale
. Assim
Isolando
obtemos
desde que
(para poder dividir por
). Essa definição garante exatamente que a lei
continue válida quando um dos expoentes for negativo. Exemplos numéricos simples:
-
. -
.
Passo 4
Definição e justificativa de
.
A expressão deve obedecer à lei dos expoentes. Pela identidade geral queremos que
A expressão
Usando a definição do Passo 3 de
obtemos a forma prática e familiar
novamente desde que, quando necessário,
para que a divisão faça sentido. Isso cobre todos os casos:
- Se
, o expoente é não negativo e a expressão é um produto de fatores . - Se
, então é negativo e a definição coincide com .
Exemplos:
-
. -
.
Passo 5
Resumo das definições inteiras (com domínio):
- Para
inteiro positivo, é o produto de fatores (definição inicial). - Para
, . - Para
e , . - Para inteiros
, (com a condição se fizer divisão por ).
Essas escolhas são as únicas naturais que mantêm coerente a regra básica
para todos os inteiros
.
Passo 6
Por que definir potências racionais dessa forma? (ideia principal)
Queremos estender a propriedade dos expoentes para expoentes racionais também. Em particular, é desejável que, para um inteiro ,
Queremos estender a propriedade dos expoentes para expoentes racionais também. Em particular, é desejável que, para um inteiro
Essa igualdade nos leva a definir
como uma raiz
-ésima de
: a escolha natural é
ou seja, o número cujo
-ésimo poder é
. Esta definição satisfaz
por construção.
Importante: existem restrições para que
seja um número real:
- Se
é ímpar, então existe como número real para todo (ex.: ). - Se
é par, a raiz -ésima real existe apenas para ; além disso, por convenção usa-se a raiz principal não negativa (por exemplo , não ).
Passo 7
Definição de
e justificativa.
Para racionais (com
inteiro), faz sentido definir
Para racionais
Justificativa: com essa definição tem-se imediatamente
o que é a propriedade que desejávamos estender. Também essa definição é coerente com as regras já estabelecidas para inteiros: por exemplo,
continuam válidas quando
são racionais (sempre respeitando as restrições de existência das raízes).
Restrições de domínio e observações:
- Se
é par, é necessário que para que seja real; na prática isso exige sempre que se queira um resultado real e par. - Se
é ímpar, existe como real para qualquer . - Quando
, todas as potências com estão bem definidas e obedecem às leis usuais dos expoentes. - Quando
e a fração tem par, não é real (ficaria complexo); se for ímpar, pode-se ter real (ex.: ).
Passo 8
Verificação de consistência com exemplos práticos (sem calculadora, à mão):
- Inteiro:
. - Zero:
. - Diferença de expoentes:
. - Racional simples:
. - Racional com numerador:
. - Raiz ímpar de negativo:
.
Esses exemplos mostram que as definições propostas são naturais e mantêm coerência entre as regras de potência.
Passo 9
Conclusão rápida e motivacional (um empurrãozinho): definimos expoentes nulos, negativos e racionais de modo a preservar as leis dos expoentes que já existiam para expoentes positivos. Isso garante que as manipulações algébricas com potências sejam consistentes — e é por isso que, na prova, quando vir algo como
ou
, você poderá traduzir para fração ou raiz e calcular sem medo. Força aí — essas regras são só “hábitos” para decorar e aplicar com calma nos exercícios.
Resposta
(a)
(para
);
(para
;
não é definido);
(com
quando haja divisão).
(b) (definido como raiz
-ésima real: se
par exige-se
; se
ímpar qualquer
real);
(definido quando a raiz
existe como número real; escolher a raiz principal para índices pares).
(b)