Definição: Uma sequencia
é dita crescente (respectivamente decrescente) se
(respectivamente
) se verifica para todo inteiro positivo
. Uma sequencia que seja crescente ou decrescente é dita monótona, caso contrário é dita não-monótona
Definição: Um número
(respectivamente, um número
) é chamado de cota inferior (respectivamente cota superior) de uma sequência
se
(respectivamente
) se verifica para todo inteiro positivo
.
Se a sequência
tem uma cota inferior (respectivamente, uma cota superior), diz-se que é limitada inferiormente (respectivamente, limitada superiormente). Uma sequência é dita limitada se é tanto limitada inferiormente como superiormente.
Teorema: Toda sequência crescente limitada superiormente é convergente. Analogamente, toda sequência decrescente limitada inferiormente é convergente.
Nos itens a seguir diga se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. E de acordo com essas respostas se a sequência é convergente ou divergente.
Se a sequência
Nos itens a seguir diga se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. E de acordo com essas respostas se a sequência é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
para
inteiro positivo, e pede:
- determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona;
- dizer se é limitada superiormente e/ou inferiormente;
- dizer se é convergente ou divergente.
As informações relevantes do enunciado são exatamente a expressão de
e que
varia nos inteiros positivos.
Passo 2
Para estudar monotonicidade é natural comparar termos consecutivos. Vamos calcular a razão
Simplificando fator a fator:
Passo 3
Agora vamos analisar o sinal dessa razão. Para
aplicamos a desigualdade de Bernoulli (versão simples): para
inteiro e
vale
. Tomando
e
obtemos
Logo para todo
temos
Como
para todo
, segue que
para todo
. Portanto a sequência é estritamente crescente (logo crescente).
Passo 4
Como
para todo
(produto de potências e fatoriais positivos), e a sequência é crescente, ela tem uma cota inferior: o menor termo é
. Calculando:
Logo a sequência é limitada inferiormente (por exemplo por
).
Passo 5
Para ver se há cota superior, usemos a desigualdade da razão para obter um limite inferior exponencial. De
obtemos, por recorrência,
Como
quando
, segue que
. Em particular a sequência não é limitada superiormente (não existe
tal que
para todo
).
Passo 6
Pela propriedade anterior, a sequência diverge para
. Também dá intuição calcular alguns primeiros termos:
mostrando o crescimento rápido.
Resposta
Crescente.
Limitada inferiormente (por exemplo por ), não limitada superiormente.
Divergente (tende a ).
Limitada inferiormente (por exemplo por
Divergente (tende a