Definição: Uma sequencia a_{n} é dita crescente (respectivamente decrescente) se a_{n} \leq a_{n+1} (respectivamente a_{n} \geq a_{n+1} ) se verifica para todo inteiro positivo n. Uma sequencia que seja crescente ou decrescente é dita monótona, caso contrário é dita não-monótona
Definição: Um número C (respectivamente, um número D ) é chamado de cota inferior (respectivamente cota superior) de uma sequência \left\{a_{n}\right\} se C \leq a_{n} (respectivamente D \geq a_{n} ) se verifica para todo inteiro positivo n.
Se a sequência \left\{a_{n}\right\} tem uma cota inferior (respectivamente, uma cota superior), diz-se que é limitada inferiormente (respectivamente, limitada superiormente). Uma sequência é dita limitada se é tanto limitada inferiormente como superiormente.
Teorema: Toda sequência crescente limitada superiormente é convergente. Analogamente, toda sequência decrescente limitada inferiormente é convergente.
Nos itens a seguir diga se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. E de acordo com essas respostas se a sequência é convergente ou divergente.
\left\{\frac{n^{n}}{n!}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{a_{n}\right\} definida por
a_{n}=\frac{n^{n}}{n!},
para n inteiro positivo, e pede:
  • determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona;
  • dizer se é limitada superiormente e/ou inferiormente;
  • dizer se é convergente ou divergente.
As informações relevantes do enunciado são exatamente a expressão de a_{n} e que n varia nos inteiros positivos.

Passo 2

Para estudar monotonicidade é natural comparar termos consecutivos. Vamos calcular a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}}.
Simplificando fator a fator:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}} =\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 3

Agora vamos analisar o sinal dessa razão. Para n\ge 1 aplicamos a desigualdade de Bernoulli (versão simples): para r\ge 1 inteiro e x\ge -1 vale (1+x)^{r}\ge 1+rx. Tomando r=n\ge1 e x=\dfrac{1}{n}\ge0 obtemos
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ge 1+n\cdot\frac{1}{n}=2.
Logo para todo n\ge1 temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ge 2>1.
Como \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}>1 para todo n, segue que a_{n+1}>a_{n} para todo n. Portanto a sequência é estritamente crescente (logo crescente).

Passo 4

Como a_{n}>0 para todo n (produto de potências e fatoriais positivos), e a sequência é crescente, ela tem uma cota inferior: o menor termo é a_{1}. Calculando:
a_{1}=\frac{1^{1}}{1!}=1.
Logo a sequência é limitada inferiormente (por exemplo por C=1).

Passo 5

Para ver se há cota superior, usemos a desigualdade da razão para obter um limite inferior exponencial. De \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\ge 2 obtemos, por recorrência,
a_{2}\ge 2a_{1},\qquad a_{3}\ge 2a_{2}\ge 2^{2}a_{1},\qquad \dots,\qquad a_{n}\ge 2^{\,n-1}a_{1}=2^{\,n-1}.
Como 2^{\,n-1}\to+\infty quando n\to\infty, segue que a_{n}\to+\infty. Em particular a sequência não é limitada superiormente (não existe D tal que a_n\le D para todo n).

Passo 6

Pela propriedade anterior, a sequência diverge para +\infty. Também dá intuição calcular alguns primeiros termos:
a_{1}=1,\qquad a_{2}=2,\qquad a_{3}=\frac{3^{3}}{3!}=\frac{27}{6}=4{,}5,\qquad a_{4}=\frac{4^{4}}{4!}=\frac{256}{24}\approx10{,}666\ldots,
mostrando o crescimento rápido.

Resposta

Crescente.
Limitada inferiormente (por exemplo por 1), não limitada superiormente.
Divergente (tende a +\infty).

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