Definição: Uma sequencia a_{n} é dita crescente (respectivamente decrescente) se a_{n} \leq a_{n+1} (respectivamente a_{n} \geq a_{n+1} ) se verifica para todo inteiro positivo n. Uma sequencia que seja crescente ou decrescente é dita monótona, caso contrário é dita não-monótona
Definição: Um número C (respectivamente, um número D ) é chamado de cota inferior (respectivamente cota superior) de uma sequência \left\{a_{n}\right\} se C \leq a_{n} (respectivamente D \geq a_{n} ) se verifica para todo inteiro positivo n.
Se a sequência \left\{a_{n}\right\} tem uma cota inferior (respectivamente, uma cota superior), diz-se que é limitada inferiormente (respectivamente, limitada superiormente). Uma sequência é dita limitada se é tanto limitada inferiormente como superiormente.
Teorema: Toda sequência crescente limitada superiormente é convergente. Analogamente, toda sequência decrescente limitada inferiormente é convergente.
Nos itens a seguir diga se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. E de acordo com essas respostas se a sequência é convergente ou divergente.
\{\sin (n \pi)\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n=\sin(n\pi),\qquad n=1,2,3,\dots
O que se pede:
  • Dizer se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.
  • Dizer se é limitada superiormente e/ou limitada inferiormente.
  • Dizer se a sequência é convergente ou divergente (e, se convergente, indicar o limite).
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A fórmula geral de cada termo é a_n=\sin(n\pi).
  • As definições que serão usadas (fornecidas no enunciado): sequência crescente quando a_n\le a_{n+1} para todo n; decrescente quando a_n\ge a_{n+1} para todo n; limitada superiormente quando existe D tal que D\ge a_n para todo n; limitada inferiormente quando existe C tal que C\le a_n para todo n.

Passo 2

Avaliar explicitamente a_n=\sin(n\pi). Há uma identidade trigonométrica básica e muito usada:
  • Para todo inteiro k vale \sin(k\pi)=0.
Explicação curta e visual (sem exigir memorização cega): a função \sin x tem zeros em todos os múltiplos inteiros de \pi, porque no círculo trigonométrico os ângulos 0,\pi,2\pi,\dots correspondem às posições onde a coordenada y (que é o seno) é zero.
Aplicando essa identidade aos termos da sequência temos, para todo n\in\mathbb{N},
a_n=\sin(n\pi)=0.

Passo 3

Interpretando o resultado do Passo 2: a sequência é constante, isto é, todos os seus termos são iguais a zero:
a_1=a_2=a_3=\dots=0.
Vou lembrar a relação com monotonicidade (definições já citadas no enunciado): uma sequência é crescente se a_n\le a_{n+1} para todo n e é decrescente se a_n\ge a_{n+1} para todo n. Para uma sequência constante (todos os termos iguais) ambas as desigualdades são verdadeiras porque 0\le 0 e 0\ge 0. Portanto a sequência é ao mesmo tempo não-decadente (crescente no sentido fraco) e não-crescente (decrescente no sentido fraco): em linguagem comum, é monótona e, mais especificamente, constante.

Passo 4

Verificação de limites superior e inferior (boundedness):
  • Como cada termo vale 0, qualquer número D\ge 0 é uma cota superior e qualquer número C\le 0 é uma cota inferior. Em particular, podemos escolher D=1 e C=-1 (ou simplesmente D=0 e C=0).
  • Assim a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente; ou seja, é limitada.
Também vale a observação geral: a função \sin x tem valores sempre entre -1 e 1, então qualquer sequência de senos é automaticamente limitada por -1 e 1; aqui, sendo todos os termos zero, a limitação é ainda mais simples.

Passo 5

Convergência:
  • Uma sequência constante a_n=c converge e o limite é exatamente c. Aqui a_n=0 para todo n, logo a sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
  • Como checagem extra usando o teorema dado no enunciado: toda sequência monotona e limitada converge. Já estabelecemos que a sequência é monótona (constante) e limitada, então esse teorema também garante a convergência; o limite que o teorema assegura coincide com o valor constante 0.

Resposta

A sequência é crescente e decrescente (constante, portanto monótona).
A sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente (é limitada).
A sequência é convergente e \displaystyle \lim_{n\to\infty} \sin(n\pi)=0.

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