Definição: Uma sequencia
é dita crescente (respectivamente decrescente) se
(respectivamente
) se verifica para todo inteiro positivo
. Uma sequencia que seja crescente ou decrescente é dita monótona, caso contrário é dita não-monótona
Definição: Um número
(respectivamente, um número
) é chamado de cota inferior (respectivamente cota superior) de uma sequência
se
(respectivamente
) se verifica para todo inteiro positivo
.
Se a sequência
tem uma cota inferior (respectivamente, uma cota superior), diz-se que é limitada inferiormente (respectivamente, limitada superiormente). Uma sequência é dita limitada se é tanto limitada inferiormente como superiormente.
Teorema: Toda sequência crescente limitada superiormente é convergente. Analogamente, toda sequência decrescente limitada inferiormente é convergente.
Nos itens a seguir diga se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. E de acordo com essas respostas se a sequência é convergente ou divergente.
Se a sequência
Nos itens a seguir diga se cada sequência é crescente, decrescente ou não-monótona e também se é limitada superiormente ou inferiormente. E de acordo com essas respostas se a sequência é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
O que se pede:
- Dizer se a sequência é crescente, decrescente ou não-monótona.
- Dizer se é limitada superiormente e/ou limitada inferiormente.
- Dizer se a sequência é convergente ou divergente (e, se convergente, indicar o limite).
Lista das informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A fórmula geral de cada termo é
. - As definições que serão usadas (fornecidas no enunciado): sequência crescente quando
para todo ; decrescente quando para todo ; limitada superiormente quando existe tal que para todo ; limitada inferiormente quando existe tal que para todo .
Passo 2
Avaliar explicitamente
. Há uma identidade trigonométrica básica e muito usada:
- Para todo inteiro
vale .
Explicação curta e visual (sem exigir memorização cega): a função
tem zeros em todos os múltiplos inteiros de
, porque no círculo trigonométrico os ângulos
correspondem às posições onde a coordenada
(que é o seno) é zero.
Aplicando essa identidade aos termos da sequência temos, para todo
,
Passo 3
Interpretando o resultado do Passo 2: a sequência é constante, isto é, todos os seus termos são iguais a zero:
Vou lembrar a relação com monotonicidade (definições já citadas no enunciado): uma sequência é crescente se
para todo
e é decrescente se
para todo
. Para uma sequência constante (todos os termos iguais) ambas as desigualdades são verdadeiras porque
e
. Portanto a sequência é ao mesmo tempo não-decadente (crescente no sentido fraco) e não-crescente (decrescente no sentido fraco): em linguagem comum, é monótona e, mais especificamente, constante.
Passo 4
Verificação de limites superior e inferior (boundedness):
- Como cada termo vale
, qualquer número é uma cota superior e qualquer número é uma cota inferior. Em particular, podemos escolher e (ou simplesmente e ). - Assim a sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente; ou seja, é limitada.
Também vale a observação geral: a função
tem valores sempre entre
e
, então qualquer sequência de senos é automaticamente limitada por
e
; aqui, sendo todos os termos zero, a limitação é ainda mais simples.
Passo 5
Convergência:
- Uma sequência constante
converge e o limite é exatamente . Aqui para todo , logo a sequência converge e
- Como checagem extra usando o teorema dado no enunciado: toda sequência monotona e limitada converge. Já estabelecemos que a sequência é monótona (constante) e limitada, então esse teorema também garante a convergência; o limite que o teorema assegura coincide com o valor constante
.
Resposta
A sequência é crescente e decrescente (constante, portanto monótona).
A sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente (é limitada).
A sequência é convergente e .
A sequência é limitada superiormente e limitada inferiormente (é limitada).
A sequência é convergente e