Como é definido o limite de estabilidade teórico dos geradores de polos lisos e dos geradores de polos salientes? O que isso representa? Faça um arrazoado sobre essa questão.

Passo 1

O enunciado pede que a gente defina o limite de estabilidade teórico para dois tipos de máquinas síncronas — os geradores de polos lisos (rotor cilíndrico, air‐gap uniforme) e os de polos salientes (rotor fendido) — e explique o que esse limite representa. Para isso, vamos usar a característica torque-ângulo (ou potência-ângulo) P_e(\delta) e sua derivada em relação ao ângulo de carga \delta.

Passo 2

Em geral, o limite de estabilidade teórico é o valor de \delta, denotado \delta_{\lim}, no qual a derivada da potência elétrica P_e em função de \delta se anula. Ou seja,
\frac{dP_e}{d\delta}\Bigg|_{\delta=\delta_{\lim}} = 0
e para ângulos maiores que \delta_{\lim} o sistema perde a característica de trazer a máquina de volta à posição de equilíbrio (perde a estabilidade síncrona).

Passo 3

Para um gerador de polos lisos, a expressão simplificada da potência elétrica (por unidade) é
P_e(\delta) = P_{\max}\,\sin\delta
com
P_{\max} = \frac{E\,V}{X_s}
onde E é a tensão interna, V a tensão na barra e X_s a reatância síncrona.
Derivando:
\frac{dP_e}{d\delta} = P_{\max}\,\cos\delta
igualando a zero, temos \cos\delta_{\lim}=0, ou seja
\delta_{\lim} = 90^\circ.

Passo 4

Para um gerador de polos salientes, a característica torque-ângulo inclui segunda harmônica, ficando
P_e(\delta) = \frac{E\,V}{X_d}\,\sin\delta + \frac{E\,V}{2}\Bigl(\tfrac{1}{X_q}-\tfrac{1}{X_d}\Bigr)\sin2\delta,
onde X_d e X_q são as reatâncias síncronas nos eixos direto e quadratura. Chamando
k_1 = \frac{E\,V}{X_d}, \quad k_2 = \frac{E\,V}{2}\Bigl(\tfrac{1}{X_q}-\tfrac{1}{X_d}\Bigr),
temos
P_e(\delta)=k_1\sin\delta + k_2\sin2\delta.
A derivada é
\frac{dP_e}{d\delta} = k_1\cos\delta + 2\,k_2\cos2\delta,
e o limite de estabilidade teórico \delta_{\lim} é a solução de
k_1\cos\delta_{\lim} + 2\,k_2\cos2\delta_{\lim} = 0.
Em geral, isso faz \delta_{\lim} ligeiramente diferente de 90^\circ, dependendo da agulhamento (X_d - X_q).

Passo 5

O que isso representa na prática?
  • É o ângulo de carga máximo em regime estacionário que ainda mantém a máquina na cavidade de equilíbrio síncrono.
  • Para \delta>\delta_{\lim}, qualquer perturbação faz com que o rotor “escorregue” e perca sincronia (instabilidade de ângulo).
  • Ao operar próximo desse limite, o sistema fica mais sensível a faltas e distúrbios no sistema de potência.

Passo 6

Em resumo, o limite de estabilidade teórico fornece o ponto de maior transferência de potência que o gerador pode suportar de forma estável, e varia de forma simples \bigl(\delta_{\lim}=90^\circ\bigr) em polos lisos a uma solução \delta_{\lim}\neq90^\circ determinada pela equação acima em polos salientes.

Resposta

Polos lisos:
\delta_{\lim} = 90^\circ,
pois P_e(\delta)=P_{\max}\sin\delta e \frac{dP_e}{d\delta}=0 em \delta=90^\circ.
Polos salientes: \delta_{\lim} é a solução de
\frac{E\,V}{X_d}\cos\delta_{\lim} + E\,V\,\frac{X_d-X_q}{X_q\,X_d}\,\cos2\delta_{\lim} =0,
refletindo a influência do termo \sin2\delta.
Esse limite indica o ângulo de carga máximo estável; além dele, o gerador perde sincronismo.

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